Shaped-beam sparse linear arrays design method

Abstract

The disclosure proposes a shaped-beam pattern sparse linear array design method. This method formulates the shaped-beam pattern synthesis of maximally sparse linear arrays as an atomic norm optimization problem. Through the sparse optimization theory based on atomic norm and the reweighting process, the number of elements can be effectively reduced. In addition, the weighted matrix is designed to ensures that the array aperture does not decrease, thereby preventing the degradation of the resolution of antenna array.

Description

A Shaped-Beam Sparse Linear Arrays Design MethodTECHNICAL FIELD

[0001] The present disclosure relates to the technical field of antenna array design, and in particular to a gridless sparse linear array design algorithm the solution of array element excitation and array element positions.BACKGROUND

[0002] In the information age, the technology of data collection, transmission, and processing has always been a core issue in fields such as underwater detection, mobile communication, autonomous driving, and satellite communication. Since antennas and transducers can emit and receive signals, they serve as essential media for information transmission. To enhance the efficiency of information transmission, multiple antennas and transducers can be arranged in a linear array. Combined with beamforming technology, the linear array system can synthesize a beam pattern with specific low sidelobe levels, thus suppressing interference and noise. Such array structures have been widely used in radar, sonar, and satellite communication systems. Among these, uniform linear arrays with element spacing of half a wavelength have been studied by many researchers due to their simple arrangement.

[0003] In practical, to improve the angular resolution of a uniform linear array and reduce the main lobe width, it is necessary to expand the array aperture. However, for large-aperture arrays, a greater number of elements means an increase in the system’s power consumption, cost, and complexity. To reduce the cost and complexity of array systems, the optimized design of sparse arrays has garnered widespread attention. This approach aims to achieve a low-sidelobe array design using relatively fewer antenna elements, while keeping the array size almost unchanged. For instance, some researchers have used random optimization algorithms such as ant colony algorithms and particle swarm algorithms, taking sidelobe levels as the objective function to determine the sparse array element placement and corresponding element excitation on a position grid. However, these algorithms face the issue of grid mismatch, as they require constructing a uniformly spaced grid for the population matrix, and the grid size affects the performance of algorithm. Moreover, the optimization processes of random algorithms like ant colony and particle swarm algorithms are stochastic, which means they do not guarantee optimal results.

[0004] For optimization algorithms such as the Ant Colony Algorithm, Particle Swarm Optimization, and Compressive Sensing, they are typically used to solve the placement of sparse array elements and excitation on a grid. However, these algorithms face the issue of grid mismatch, where the preset grid size can affect the algorithm's performance. Moreover, the optimization process of random algorithms like Ant Colony and Particle Swarm Optimization is inherently stochastic, which means they cannot guarantee optimal results.SUMMARY

[0005] This disclosure proposes a gridless compressive sensing method that addresses the grid mismatch problem for designing shaped-beam sparse linear arrays. The designed array exhibits better performance in terms of sidelobe levels. Additionally, the proposed method can impose sidelobe constraints on different regions, achieving interference suppression in specific directions.

[0006] A shaped-beam sparse linear array design model was established by the atomic-norm based sparse optimization theory. Within the main lobe region, the method ensures that the beam pattern of the sparse array matches the reference beam pattern. In the sidelobe region, the method controls the sidelobe of specific angular intervals, allowing for the design of sparse arrays that meet both main lobe and sidelobe constraints while minimizing the number of elements.

[0007] Through multiple iterations, the solution exhibits sparsity, and each iteration requires a weighted matrix. The weighted matrix is designed to prevent aperture reduction, thus maintaining the resolution of designed sparse antenna array.BRIEF DESCRIPTION OF THE DRAWINGS

[0008] FIG. 1 is an overall structural diagram of the proposed sparse array design method. First, an optimization model is established using the input parameters to represent the shaped-beam sparse array design problem. Additionally, the weighted matrix is updated after each iteration based on the optimization results. Second, the root-MUSIC and least squares method are used to estimate the frequencies and weights of the atoms. Finally, the frequencies and weights are converted to the element positions and excitations of the sparse linear array.DETAILED DESCRIPTION

[0009] For a linear antenna array, assuming the aperture length is L, the number of array elements is N, and the corresponding positions of the elements are [d1, d2, ..., dN] , the beam pattern model is expressed as

[0010] where dn denotes the position of nth element; wn denotes the excitation of nth element; k0=2π / λdenotes the wave number; u=sinθ, andθdenotes the angle between the beam direction and the normal to the linear array.  denotes the imaginary unit.

[0011] First, equation (1) is reformulated as a sum of atom-based polynomials. We define Δ=1 /  (J-1)and sample the beam pattern at the uniformly spaced intervals  In addition, we introduce the definition of the atom set, that is, for an atom with frequency the corresponding atom set can be represented as

[0012] where T representing the interval where the frequency parameter f is located. Consequently, equation (1) can be reformulated as

[0013] where and the atomic weight Clearly, equation (3) demonstrates that the beam pattern model of a linear array is consistent with the sparse spectral estimation problem. In other words, there is a linear relationship between the array parameters and the frequency parameters. Specifically, the positions and excitations of the array elements correspond to the frequencies and weights of atoms through the following linear relationship

[0014] Based on equations (3) and (4) , it is evident that due to the consistency between the array design problem and the spectral estimation problem, gridless sparse methods could be applied to the design of sparse linear arrays. Therefore, the gridless sparse optimization algorithm based on atomic norm optimization is introduced. Firstly, we define the atomic l0 norm of atoms as follows

[0015] Therefore, the shaped-beam pattern synthesis model of sparse linear arrays could be expressed as

[0016] where M represents the main lobe region, S denotes the side lobe region, and ρ(u represents the upper bound of the sampling points in the side lobe region, thereby can be used to constraint the sidelobe level of whole beam pattern. In addition, FREF (u) represents a known shaped-beam pattern, such as cosecant-squared or flat-top beam pattern. However, equation (6) is NP-hard, which means that the optimal solution could not be directly obtained. Therefore, the atomic l0 norm could be relaxed as atomic norm, as

[0017] and equation (6) can be modified as

[0018] Although equation (8) is convex, the atomic norm is a form of sparse optimization in a continuous parameter space, which cannot be directly solved using existing tools such as CVX. Therefore, equation (8) is converted to an equivalent semidefinite programming (SDP) problem, which is given by

[0019] where T (·) denotes the Toeplitz operation, and

[0020] By solving equation (9) via CVX, the optimal solution x and F can be obtained. Through eigen-decomposition and root-MUSIC algorithm, the frequency f can be obtained from T (x) , and then the weights r can be solved using least squares After that, through equation (4) , the array positions d and excitations w can be determined.

[0021] However, the solution to optimization problem (9) is not unique, leading to array element positions that do not match the actual situation. As a result, the designed sparse linear array cannot synthesize a shaped beam that meets the required conditions. In other words, it is necessary to establish an aperture constraint d∈ [0, L]. Through equation 4, the aperture constraint is equivalent to a frequency range constraint, i.e., f∈ [fL, fH]         (11)

[0022] where fL=0 and fH=L /  (Jλ) . Additionally, equation (11) is equivalent to a semidefinite constraint as Tg≥0, where the element in the m-th row and n-th column can be expressed as

[0023] where r0 and r1 are expressed as

[0024] In summary, the optimization problem of equation (9) can be modified as

[0025] To increase the sparsity, the reweighted iterative procedure is introduced, and the problem can be reformulated as

[0026] where W is the weighted matrix, and can be represented as W=(T (x) +δI+α (a (fL) a (fL) H+a (fH) a (fH) H) ) -1    (16)

[0027] and α could be empirically set as 10-2. Noted that the form of weighting matrix is different from that in reweighted atomic norm minimization method, and α (a (fL)a (fL) H+a (fH) a (fH) H) ensures that the array elements could locate at 0 and L, guaranteeing that the array aperture will not decrease, thereby preserving the resolution.

Claims

1.Equation (14) represents a sparse optimization model that ensures the design results meet the requirements for side lobe levels and main lobes, while the optimized variable u exhibits sparsity.2.Equation (19) represents the weight matrix that needs to be updated in each iteration, where the α can be set to a small value, i.e., 10-4. This ensures that the spacing between the last and first elements of the sparse array is exactly desired array aperture, preventing the increase of main lobe width and the reduction in resolution.3.The input parameters include the array aperture L, the number of iterations K, the aperture constraint parameter α in the weight matrix, the sparsity control parameter δ, the matching constraint for the main lobe region ε, the range of the main lobe M, the range of the side lobes S, the reference beam pattern FREF, and the upper limit constraint for the side lobes ρ.4.The input aperture parameter L is used to determine the desired array size, which is set based on practical requirements. For example, if the placement location allows for 2 meters, then L can be set to 2 meters.5.The number of iterations K and the sparsity control parameter δ are used to reduce the number of elements in the final array design. Typically, δ is set to a small value to enhance sparsity, i.e., 10-4, and the number of iterations K is set to 6. The proposed algorithm could design a sparse linear array with fewer elements after K iterations compared to a sparse linear array obtained after only one iteration. The reference beampattern FREF is a shaped beampattern synthesized from a uniform array with a known number of elements and excitations, such as a secant squared beam or a flat-top beam. The parameter M is set according to the main lobe region of the reference beam FREF, and S represents the interval of u from-1 to 1 excluding M. The parameter ρ is a user-defined side lobe constraint, calculated using the equation where SLL represents the side lobe level in dB. For example, SLL=-20.49dB could results in ρ (u) =0.0945.6.The formula can be split as different side lobe level constraints to different side lobe regions. For example, the region S can be divided into two regions, S1 and S2, with corresponding side lobe constraint parameters ρ1 (u) and ρ2 (u) applied to each region. In the S1 region, interference is more severe, so ρ1 (u) needs to be lower. In contrast, less interference in S2 region so that  ρ2 (u) does not need to be as low. By dividing the side lobe region into different areas, stronger suppression can be applied to specific regions where interference is more critical.

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