Decoding forward error correction codewords using combinatorial logic circuits performing finite field operations

Abstract

Receiving a codeword of a forward error correction (FEC) code, each codeword in the FEC code having a minimum distance of at least seven to any other codeword in the FEC code, calculating multi-bit syndromes by applying columns of a check matrix to the received codeword using combinatorial logic, and responsively determining the received codeword comprises at least three errors, determining coefficients of an error locator polynomial using a coefficient combinatorial logic circuit by combining the multi-bit syndromes using non-iterative combinatorial logic performing arithmetic operations in a finite field F(2 n ), determining respective error positions for each error of the at least three errors by determining roots of the error locator polynomial using a non-iterative root-finding combinatorial logic circuit, the non-iterative root-finding combinatorial logic circuit performing arithmetic operations in the finite field F(2 n ), and correcting each of the at least three errors in the received codeword.

Description

[0001] - - , , .., “ . ,, ” - . ,, ,,, .., ”, “ - , .,. . ,, ,. ,, , ,”, “ - .,. “” - .. . , , “ ,, , , , ,”, - ,.. . ,, ,” “ - . ,, , , ,.. ”, “ - ,.. “ . ,, , , . ,, ,”,, .., . , - “ .. .,,, ,, ”, . , ,.. “ . ,”, ,, .. . ,,, , ,. ,” “ - ... , . ,, , , ” “ - ... , . ,, , , ” “ - ... , . ,, , , ”. “ - .., . ,, , , ”. “ - .., . ,, , , ”. “ - .., “ . ,, , , .. ”, - , ..,, , , ”. “ - , , ,- ., , ,, - . . , , . . - . - - . , . , . ,- . - -, ,. -,. . , , - , ,-n, - , - - - - .n, - . . , . .- , . . , .. , .. , ,. . . ,. . ,. . ,. . , - .. . , .. , ,. . . . , . . , - . , .. . , . . , .. , ., . . . , . . , . . - , . . , . . , ., . , , - . , -. ., , . , . - . . , , ,, . , . , ., . - .. - , ,. . , . ,. , . . , ,. . , . , . , . ,. , . , . , . . , . . ., . . , . . - . . , . -. , .. ,, .. - . . , , .., , , ‘,’ . , ‘’ ‘ ‘’. ‘’ ‘’’, .. , , , , , ‘’. - - , .- . - “ ” , , ,,, ,. , . . , ,, , ‘’ . - , ‘’ , , ‘-’, . - =* - -- - = ., - - , . - . , , . - , , , , , , . , , . ,n-1n-1 n, . =1… ^^ n, =1...n-.1n-1= ...-- " ! . … . - , = , , …,, , …, = ,,…,4 •,…,4 =,…,4, 1 =1 1 44 2 41 22= =2 2142 4 4412424 1 41 24 =44421 1 42, 14 122 . - . , = - ,…,7•,…,7=,…,7, =4 4 742 4 7 7 71 2=1 2 71 12 14 474 7 71 2 7=72 274 4 7 11 7 72 2=7=4 7 21 4 7 12 774=4 74 1 1 22 4 7771 1 4 4 4 2 7 42=4 72 1 2 742 474 1 4 7 1=72 2 477 71 2 4 74 2724 1 2447 71- . , - - . ,…n-1, ,1…n−1, , ... ,n−1., , ,, .. ’ . , . , .... ,n−1., . , , ..^. , .. ,n−1-=^^^^^^^^n− ^1^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^.= ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^ ^^^ ^^^^^^^^^^^^= ^^^^^^^^^^ ^^^ ^^^^^^^^^^^^^ ^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^= ^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^ ^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^= ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^ ^^ ^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^, ,^.,…,7,…,7.

[0002] ^^ ^^^ ^ , . , . , ,, . 12= ,…,7.^ ,…,7= =4=41 74= =2 74 77= =4, ,…,7 ,…,7 - ,, , - , , , , , - ,. , . . , - . , - , . ,, . , , , , . , , 1n-, , - , , . .. , , . ,- - = =,…,n-1, 1. =- ,…,r-. . ‘’, . .., , . - ,…,r-,. ,, .1, n,n-1,…,1=,nnn-1n-1…1. ,1- - .. . , - ,- - , - - . , . , =, =, = =, =22 2= =,22 22 222 2 2 2=4 2 - , . ,- ,- 4.,4 -, .4-, - , . - - - , , . - .., _ -, . -, .., “ . ”, “ , .. ” . , , . , ., , _ . , .. _ . - -, ,.., - - . - , . ,,- . .,, - .. - - , -_ . , - . .,, ,. .- ,,, . ^ ^^ ^^"^^ ^ ^^ ^^^^ ^^^^-, . _ , . , , . , -, ..22,, ^^^1 ^^^^^" - , _ .. _ . , .. . , - . , . ‘’ __ - .,. .44221, . . ,- , . , ,. , . , , . , . , .., - . . . - , -. , - . . , . , , - , - - --. =,… , ^^ , , , , ¹nm,-1. ,1,…,n-,1T^^.-, . =1,.…,n-1- . =,, =. .. . , .. - - - . = ...nm-1., ^^ ,.., ¹, ..., -, .. - - ^^ , ., , =-...-., ^^ - , ..t., ¹,nm-111...t,-,1. =1=1.2. =2n=-144. .-..Tn-1^^. . 2 = = = =42 412 2. . . - ’ , , , ,, .. . . , . , . .... , , . , . ,^^^^^^^^^^"^^^^^ =.. , ^^, ^^", ^^= ^ → = , = , =- "" "" " =.^ = "^ =^ =^",=^"- , .. , ",^ ^^^ =^^ ^^^ ^^ " ^ ^^^^ ^ ^ ^^^^ ^^^^^^",^^. - ,.= ..-.nm-1-., ^^ - , .t., ¹,1...1 Tn-.1.. ^^t, -, . 1.. 1 = ......n-1- . 1 =7.2= =4= = =7= =., - , , , , , , , , , . ^ ^^ ^ ^^^ ^^^ ^^ ^^^ ^^". 2 ^^ 2 ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^-2 1 12.., -, ^^"^^^ , -. 2. - ^^"* , ^^ . ^^"2^^1^^^^^"=. ^ ^^ ^ ^^^ ="=^^ ^^*^^^.^^^""^^ ^^ ^^, ,,, =^^", ^^,^^^,^^^*. .. .. , , ., . , . .., . , , . ., .- . , . .-, - , . . , , . - , , , - . .., - . - - . ., , . ‘ . ‘’ ’, , .. ‘.’., .,. ‘’, . , . , . , - , . t. , , . , , - . ‘’ . , ,,2,, , .,, . ^^^^^ ^^ ^^^^ ^^ ^^^^ ^^ ^^ ^^ ^^^^^ ^^^^^ = .….,, ,,- . , . , ,.4.., , , . - ., , , , . , . . .. . ,, ,, . - ‘’ ‘’ . , - 42. _4 2 1= .., , _ . . , . - .,. , . ..,4,4221. . , . .., , .. , -. - , ^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^ ^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^ ^^^ ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^ ^^^^^, , , , . ., . , . - , , ,.. . .. , , . - . .,,, ,. , ‘’, . ,, ,,, =,,,,-,. ,, - , . , - .,, ,. . , . , , , = =1, ,. . ,,-., ,, , ,, - = =1 2=  1 2, ,,, .,, ,, ,,,, = ,,,, .. , . ., .. . .. ..,, , ., - .. , , . ., ,.., , ,. .., ,-.., . ,. ,, - ., , ...,. , , . - , . , ,, - - .- - -, -. - ,.., - . , ,. -, m ,m- , . . ,, . , . , - *^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^ − ^^^^^^^^^- ^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^- ’ , . ‘, , , ’. , . -, . , - . , - . , , . - . ,77-.7, = - ,,,.,,,,. - , .. , . . ,- ,r. . . . . , - - - - , -. ., .. - - - , - , - . , ,, - . -. - m* 2. *. , .. - - . , -,- * . , - * ., . ,,,,,,,,,,, . ,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, . ,,,, ,,,. ,,,,,,,,. ,..,,,, ,,,,,,,,2,,,,,,,,,,, . , * =,,,,,,,* =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. - , ,,-,,,,,,. * = =**4*,. *,. =12 2*22* -*2 4*2 2- =* * * *22. * * * . ,, . . ,,,,,,,,,,,, . - ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. ,,,,, ,,,,,,,,,,,,. = =,,,,,,,,,,, =,,,,,,,, =,,,,,,,,,. ,,,,,, * *2* ,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, . .,,,,,,,,,. m * . - *4* *,2,*,. ,,, =1 2*2**4**4** * = =* 1* * *1 22*12 2**41*2*2 22*442****2*****2** * ** * *1 14 2 1 12 1- = 4*2*2*2* **4**4 2** *2*2*2**2* * 4. =2*2*14 2*1 2*2*2*4*2 2*2- . - . ,,,,,,,,,,, . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , =,,,,,,,, =,,,,,,,,,,,,, =,,,.,, =,,,,,,,.,,,,, ,,,,, =,,, =,,,,,,,,,,,, =,, - ,,, ,,,,,, =,,,,,,,, = =.,,,- ,,,, ,,,,, =,,,,,,,, = . ,,,, =,,,,,,, ,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. ,. ,, . . , , . ., . ,, .., . , . . ,.., , . . , - . , , , . , , . , ., . .. ,, . , . . , .., .. , . ,. . . ,, . . - . . ,, -- -,.., . , ,- . . , , . - , , “”, . . , , . ..., ,- - ,. . = . ,,,,,, . ,, , , ., ,, , , , , , . ., ,, . . , ‘’ . , ‘’ . , . .., . , , - . .. , , ., . . ,.., . . , , . , .. , . ,. . , , . - . . , ,, - ,, ,-., . . . , , . . , ,.,..,,,.. ,.., . , . . . .- , ,., . ,., . , , . -. , . , , .. .., . , . . , , - . . , , .. ., , . , .. .- , . .-, , . . , , - ., , , . ,. - - . , , . , . , , . , . ., ., .., , . , , . . , . - ., , .., - - . , , , ., . - - .. , , . ., . .,, ,, ., . . . , . ., , - . . , . , , .. . , ., , ,, . . , . .., ., ,.,, , , . .. . ,. . . , ., . -, .. ., , , . . . .. , .., . .,. , - . .,, - . ., ,...,.,, , .. .. , , , ., . , , .. , -- , . , . , , . , - . , . . ., , , - , , . . , . , ., , . , . ,. , , .. .. .., , ,. , . , , . , . . . ,. . . , . , , , . , . . , . . , . . , ,, .. , . , , .. , ., , . , - , – – – – ,. . . , . . . , . ,, , . , – .. – , ..- . .., . , . . ., . . ., . - ..,- , .. , -..,,. , , - - - . . , , ..,- . , . , , , ., , . . , , , . , ‘’ . . , .., . ..,., . , , . . . , . . -- ,.., , . , -- . , - - -. . , . - . . , - , ,.., .. ,- .. , , - , , . . , . , . . , . . , , , .. , . , 1 , . , .., , . , . , , . - , , . . . , , ., ^^ ∙ ^^ = ^^ ‘’ , =112,,1 2,,2,,11 22,11 22,2,111 21 2,,,11 22,,2,22,,1,111 22,11 22,2,11 2,1 2,22,11. - , ^^ = ^^ ∙ ^^", , , , ., , , , . , , , . . . ,-, . , , 1, .1 2 1..1.. , 1, .1..2, . , , . ,. . ., , . , - - . , .., , - .-. , . , . ,. , . , . , , , ,.., . . , - . ,. . , - - . , , - , , -. , - ,,, - , - - . - n - - , . - - , -n.- , , ., , - . , , , , , . , , - . , , , , , , , - , . , . - , , .- - , , . . , - .. ., , , , . . , - .- , , . , . , , . , .. ,, , , ,- - . , , - - , - -, - . , , . -. , , . , -, .

Claims

-. , - , -n,- , - -n- - . , . . , . , . , . .- . , , . - . , , - .-. , ,. , . . . , . . - , . , . . , - . - , , , .- ,-. - ,, , . - - . , - , -n,-- - - , - -n. . , . , . , . , . . - , . -, - -. . , , - - -. , .- -, . ., .-. , ,. , . -. . , -. . , , - -, , , -. . , , , , - - - , .

Images