Method for modeling solid state and / or superconducting phase transition based on Anti-hermitian interaction and electronic state network

Abstract

Provided a method for modeling solid state and / or superconducting phase transition based on anti-hermitian operator and electronic state network (ESN). The anti-hermitian interaction ζ is an observable when (I), which causes level attraction in the lattice electronic system and establishes electronic state network, and further establishes a passage through which electronic state can repetitively and continuously shift. The relationships that occur during the establishment of the passage define the microscopic mechanisms of solid and / or superconducting phase transitions mechanisms, which exhibit as the Meissner effect, superconducting critical temperature relationships, peak-dip-hump phenomena (PDH), and etc.

Description

Method for Modeling Solid State and / or Superconducting Phase Transition Based on Anti-Hermitian Interaction and Electronic State NetworkField of the inventionThe invention relates to a method for modeling solid state and / or superconducting phase transition based on anti-Hermitian interaction (AHI) and electronic state network.Background technologyA model of superconducting phase transition needs to provide explanation of known superconducting phenomena such as the "peak-dip-bump" (PDH) phenomenon in the anti-nodal region [1] [2] of cuprate high temperature superconducting systems. It is also necessary to explain the energy saving related to phase transitions. Generally speaking, the appearance of energy gap or energy level repulsion at the Fermi surface can lead to energy saving, resulting in phase transition; but such a phase transition may not necessarily be a superconducting phase transition.Summary of the inventionAccording to one aspect of the invention, a modeling method of superconducting phase transition based on AHI and electronic state network is provided.Detailed description of the invention1. Cause of energy savingThe level repulsion at and / or near the Fermi surface (FS) can lead to energy saving, leading to phase transition; but such transition is not necessarily a superconducting one. The energy correction led to by traditional level repulsion [3] directly cause energy saving. But in the model of the present invention, the energy correction of an electronic state (ES) leading to energy saving is repeated unidirectionally through a passage formed of pure non-stationary states (PNSSs) . We first discuss the mechanism of the occurrence of the quasi-chemical potential in the superconducting phase transition scenario.2. Time-dependent perturbation of Lattice-electron coupling2.1. PNSS (pure non-stationary state)According to the existing theories, the interaction matrix in lattice-electron coupling is:{aij} , i, j=1, 2, 3…… (2-1) ,where the range of values of i and j can be all electronic states (Bloch states or their superposition states) in the lattice.Due to the modulation of lattice waves (and / or possibly other Bosonic modes) [3] , the diagonal matrix elements in (2-1) are in one of the three states: 1) aii=1, 2) aii=0, and 3) 0<aii<1. Case 1) is the traditional "static state" , and the opposite cases 2) and 3) should be called "non-stationary state" . But the situation of aii=0 is unique. In this description, the state aii=0 is called "pure non-stationary state" (PNSS) to distinguish it from the situation of 2) .2.2. Establishment and maintenance of PNSSThe matrix of (2-1) is Hermitian and each row of its elements is normalized, that is:Thus, a conduction can be established among the rows of the matrix, that is, different rows are coupled by|aij|2=|aji|2, so that those rows that have lost their redundant terms due to that their diagonal element are zeroed (aii=0) can call the redundant terms of other rows with ajj≠0to maintain aii=0 of the current row. When a diagonal element is non-zero, it functions as a redundant term of its row to provide redundancy for normalization of its row; that is, the diagonal matrix element plays a dual role in formula (2-2) : 1) when it is not zero, it is the resource for the establishment of (2-2) ; and, 2) when it is zero, it is the burden for the establishment of (2-2) . But as will be described below, the primary cause for the establishment of (2-2) is the indeterminateness of wave functions of the electronic states.The modulation of electronic states by lattice wave modes is not limited to the first order time-dependent perturbation, but also includes perturbation terms of higher order. The matrix element of time-dependent perturbation is initially expressed as an iteration relationship [4] , and its nth order is expressed as, for example:The applicable condition of matrix element representation in summation formis whether the summation converges.However, time-dependent perturbation and ζperturbation are not independent of each other, rather they are interwoven. As will be explained in the following text, this interleaving leads to the indeterminateness of the wave functions. Below, “PNSS” also refers to electronic state that engages in AHI and / or formation of electronic state network.3. Electronic grouping and level attraction caused by quasi chemical potential (QCP) 3.1. Quasi chemical potential and the electron grouping led by itChemical potential represents the trend of particle redistribution [3] [6] . In CN202210325948.9, we discussed a mechanism of occurrence of quasi chemical potential (QCP) , wherein the occurrence of QCP is related to PNSS. We use ζ to indicate anti-Hermitian QCP operator.Perturbation always makes initial electronic states (base vectors) unstable and leads to hybridization of the base vectors. However, unlike Hermitian wave function hybridization, hybridization caused by AHI perturbation ζ leads to level attraction, and there must be3.2. Perturbation caused by QCPTherefore, ζof an electronic state leads to a perturbation (ζperturbation) to the electronic state. Let the state before the perturbation be expressed asφi0 (Ei0) , in which i=1, 2, ....... covers all the states subjected to the perturbation, and the state after the perturbation be expressed asφi; the Hamiltonian is H=H0+ζ, then:H0φi0=Ei0φi0   (3-1) .When the perturbation is carried out in the form of electronic state pairing, writing the perturbed state ψ as:ψ=aφi0+bφj0   (3-2) ,and substituting Hψ=Eψ into (3) we will get:3.3. Matrix elements of ζ(3-2) is the well-known "two-level" perturbation. "two-level" perturbation leads to level repulsion [7] . For operator ζ of AHI, there are:<φi0|ζ|φi0>=<φj0|ζ|φj0>=0                  (3-4) and<φj0|ζ|φi0>=-<φi0|ζ|φj0>*=ζji                   (3-5) . and(Ei0-E) (Ej0-E) +|ζji|2=0    (3-6) ,The solutions of (3-6) are of "level attraction" :E±= (Ei0+Ej0)  / 2± [ (Ei0-Ej0) 2-4|ζji|2] 1 / 2 / 2  (3-7) ."Level attraction" is a relatively less discussed phenomenon. There are reports in the fields of magnetic-optical coupling and machine-optical coupling [8] [9] . As such, the work of the present invention for the first time confirms "level attraction" phenomenon in solid state physics.3.4. “Pooled grouping” of multiple PNSSsObviously, a plurality of (M) PNSSs may perform grouping, in which (3-2) is replaced by an equation set of M linear equations and M variables, and the PNSSs are divided into two groups: a resource group including M1 PNSSs with the energy of each of which is to be increased, and a burden group including M2PNSSs with the energy of each of which is to be decreased, with M1+M2=M. Each of the burden PNSSs has its ζn, n=1, 2, ......M2. These ζns are pooled in the perturbation, and the grouping is a pooled grouping. 3.5. AHI establishes electronic state network (ESN) The sum H0+ζof Hermitian operator H0 and anti-Hermitian operator ζis not Hermitian. One consequence is that the two electronic states of the modified energy level E± of Equation (3-7) are not orthogonal to each other. There are two types of eigenvalues, one for the energy eigenequation, and the other for the operator matrix. For Hermitian operator, the two eigenvalues are the same. But they become different for non-Hermitian operator H0+ζ. The solutions E± of (3-7) are merely eigenvalues of the energy eigenequation, not those of the matrix of operator H0+ζ. The two electronic states of E± are energy eigenstates, but they cannot diagonalize the matrix of H0+ζ. We can use the wave functions f1 and f2 of the two energy eigenstates to construct two orthogonal states, but these two orthogonal states are not energy eigenstates, rather they are entangled states of the two energy eigenstates of f1 and f2. This is the consequence of that the operator H0+ζ loses Hermiticity.The matrix that is no long diagonalized is the matrix of electronic state network (ESN) . In other words, AHI establishes ESN.It is also to be noted that (3-4) is necessary, as it ensures that H0+ζbe an observable.4. Interweaving of two perturbations4.1. Non degenerate W perturbation in the presence of ESNζ perturbation of AHI coexists with Hermitian static W perturbation (such as CDW perturbation) . ζ perturbation and W perturbation interweave, and ζperturbation and the time-dependent perturbation also interweave. Both types of interweaving are of substantive effects.We first discuss the interweaving of ζperturbation and W perturbation. Below, j∈Z(or j∈M) is used to indicate thatbelongs to the ESN. For at least a portion of the base vectors in the ESN there is φmj=<m|j>≠0. The first order approximation of the W perturbation is:(in this article fmj=φmj=<m|j> is also used. ) Multiplying (4-1) by <m| and integrating, we get the equation set:The solution of (4-2) can be generally written as:The symbols used here will be explained in the following text. Several different situations of non-degenerate perturbation are:1) Whenandfor m≠k, φmj=δmj and φmk=0, the usual results are given for (4-2) as:If Wkk=0 is taken; thus for m=k, (4-2) gives:2) Whenand m∈Z, φmk=0; for m≠k (4-2) leads to:Denoting Λ=det|φmj|=det|fmj|, and withbeing formed by replacing the j-th column of Λ by Wmk, it can be shown that the solution of (4-5) is:Where F is the determinant representation the joint wave function of |j>s (j=1, …LM) (including spin content) , F=Ndet||i (n) |>, is formed by replacing the j-th column in F by |k (n) >, (n) represents the n-th coordinate argument, N is the normalization factor:1=<F|F>=N2<det|i (n) ||det|i (n) |>=N2M! Λ   (4-6a) .Thus, there are:and3) When k∈Z and there is φmj=δmj; for m≠k, (4-2) leads to the same results as (4-3) .4) When m∈Z and k∈Z, note for k∈Z there is:But the solution can only be written now as :Meanwhile, even forwithin the electronic state network, since |m>interacts with |k> through node|j> within the network, non-degenerate perturbation (NDP) and degenerate perturbation (DP) cannot be processed separately. DP concerning ESN will be discussed later.The second order approximation of the W perturbation is:Whenandφmj=δmj; for m≠k, there isφmk=0, and (4-9) leads to:Whenand m∈Z, (4-9) gives:andassumesthe form of (4-6) (fori∈M) or (4-3) (for) . For m=k, φmj=φkj=0, (4-9) gives:Whenin (9-13) is established, there is:When m∈Z and k∈Z, according to the above discussion after (4-8b) , NDP does not occur.4.2. ESNESN takes each PNSSas one of its nodes and φmjas one of its edges. According to network terminology, the number of non-zero edges φmj of node |j> is called "edge degree" .4.3. W degenerate perturbation in the presence of ESNLet the undisturbed states (base vectors) be|ju> with H0|ju>=Ej0|ju>, and the perturbed states beMultiplying both sides by<mr|H=<mr| (H0+W) , and integrating, and expressing the orthogonalities of the states outside the group as φmrju=<mr|ju>=δmrju, we obtain the DP relationship of:Let the degenerate state energy level to be treated beAs|ju>s include two types: ju∈Z andthere is:According to the DP treatment described in reference [7] , the zero order approximation relationship is:In respective formula, j, n, r-v, μ and ω are respective quantum numbers that label respective degenerate states. The first approximation is:Substituting (4-15) into (4-17) , we get:The statesmμ∈Z are all the states in the ESN, with a total number of M, forming a set of M equations about mμ∈Z, with the solutions of:<F||Qjs (Wmμjt) >is formed by replacing the js-th column of <F|F> by Wmμjt. Similarly, for states min |mr>s, (4-18) gives a set of equations:Taking j=k for (4-18a) and (4-18b) respectively to obtain:andThen introducing additional adjustable parameters using the properties of the network to write (4-18c) as:mμ is the line index. Under the conditions as described in 9.1, for some |ks>there is:<F||Qks (Wmμks) >=0     (4-20) .so (4-19) and (4-20) give:Their solutions of (4-18c) and (4-18d) will be discussed in Sec. 4.6.4.4. Realization of Wksks=0Wksks=0 is important. |ks>do not generally satisfy Wksks=0. But at least some |ks> can have Wksks=0 and that is necessary for the establishment of the present model, as will be discussed in Chapter 9 below.4.5. Joint matrix elementIt is proposed in equation (4-6) :Because this is the matrix element with respect to the joint wave functions F and Q, we call it "joint matrix element" . (Although this operator representation cannot be used for a determinant between states within the electronic state network, we sometimes still formally represent its determinantas) Obviously, the joint matrix element is an extended form of single particle state matrix element. When the anti-Hermitian operator component disappears, the joint matrix element is transformed into a single particle state matrix element. The general relationship of Equation (4-22) is expressed as:For M-order determinants det|fj (i) | and det|gk (i) |, where the row index i=1, 2, LM are also the coordinate arguments, j and k (=1, 2, LM) are the column indexes, and fj and gk are the single particle wave functions, then there is:<det|fj (i) ||det|gk (i) |>=M! det|<fj|gk>|     (4-23) , where j and k in det|<fj|gk>| are row and column indexes, respectively. For example:Proving by induction.Obviously (4-23) holds true for M=2. Assuming it holds true for M=M. For M+1 order, expandingdet|fj (i) | and det|gk (i) |to the minors of their first row of elements and integrating, we obtain (M+1) 2 terms, each of which is the product of an integral and a pair of minors. To the product of each pair of minors, Equation (4-23) is applied. The M+1 terms of the integral <f1 (1) |gk (1) > is the minor expansion of det|<fj|gk>|of M+1 order, and the M+1 terms of <f2 (1) |gk (1) > is det|<fj|gk>| of order M+1, and so on. A total of M+1 det|<fj|gk>|s are obtained, and the proof is complete.4.6. Solutions to Degenerate Perturbations Involving PNSSs4.6.1. Solutions of (4-18c)(4-18c) can be written as:φmμn is the elements in the nth column of determinant <F|F>with n≠ks, and τn is any number and can be a function.Firstly, considering the situation where no normal electronic states (NES) is present in the current DP, i.e. Letting (4-24) becomes:A solution for each equation (for each ks) in (4-25) is:where mμ=1, 2…M1, that is, the equation set (4-26) includes M1 equations, which have M1-1 variablesτn; therefore, after eliminating all variables τn are cancelled the set of linear equations (4-26) still has one equation (constraint) forand (4-25) becomes a set of equations containing M1 variablesand M1 equations, which obviously has no non-trivial solution. i.e., whenis specified, (4-18c) generally has no non-trivial solution.4.6.2. The condition for (4-18c) to have solutionsWhen (4-20) holds for one ks, (4-21) becomes true, which has one more adjustable parameterηks than (4-26) , and (4-21) can obviously be written as:When and (4-27) become:which has a solution:The equation set (4-29) has M1 equations mμ=1, 2…M1for each ks and a total of M1 additional variables (variable ηks plus M1-1 variables τn) , so (4-29) does not impose any constraints onThat is, the constraint of the equation for that ks in (4-18c) has been released, so (4-18c) has non-trivial solutions when4.6.2.1. Hybridization of PNSSObviously, unless (4-20) holds for all ks in the current DP, the solution usually contains more than onecomponents, indicating that PNSS must be hybridized. On the other hand, if there is a change in themembers participating in the current DP, the solution of (4-29) will change accordingly.4.6.3. When NES is present in the current DP4.6.3.1. When at least one ks in the current DP does not satisfy (4-20)If there is NES (at least one) in the current DP, there are two situations: 1) at least one ks in the current DP does not satisfy (4-20) , and 2) all ks in the current DP satisfy (4-20) .In the first situation, if one ks in the current DP does not satisfy (4-20) , for that ks, at sincehas been defined by (4-18d) and enters (4-24) as a given quantity, (4-24) has no solution whenis taken. Thus, the solution of the simultaneous equations of (4-18c) and (4-18d) must contain hybridization of4.6.3.2. When all ks in the current DP satisfy (4-20)When all ks in the current DP satisfy (4-20) , both PNSSs and NESs can avoid hybridization by each other. At this point, the solutions of PNSS not only need to satisfy (4-18c) , but also (4-18d) . Therefore, the number of NESs in the DP is generally less than the number of PNSSs, otherwise (4-18d) cannot hold. But there seems to be an exception whenWkωkt=0. In that case, even if the number of NESs is greater than that of PNSSs (4-18d) still holds.Avoiding NES being hybridized by PNSSTo avoid NES from being hybridized, it is necessary that (4-18d) and (4-21) have solutions when all (4-18d) is now formally the same as the DP of M2 NESs, that is:And (4-21) becomes:(4-31) has a total of M1 equations and M variables of ηks and τn, thus (4-31) has solutions, even when the solutions of (4-30) are added to (4-31) as already defined parameters (particularly, the coefficient determinant on the left of (4-31) is zero. ) Therefore, the NES in the current DP can avoid being hybridized by any PNSS.4.6.3.3. "PNSS perturbation highway" (PPH) for unidirectional continuous movement of single NESSpecial consideration needs to be given to the case where in (4-30) {kv} only has one state |kv>=|kω>, then (4-31) gives:which is a result of self-perturbation and seems formally the same as the first order approximation of NDP; but the latter is merely part of a result that also includes higher order approximations, which inevitably lead to hybridization, while (4-32) is the result of DP between |kω> and |kt> (but Wkωkt≠0 in (4-18d) is not necessary, ) which DP excludes NDP and, through the relationship of (4-31) , avoids hybridization of |kω>. And more importantly, the result of (4-32) is sustainable and can be repetitive as long as NES |kω> maintains engaging in DP with PNSSs and all the PNSSs in the current DP satisfy (4-20) (the realization of which will be explained in Chapter 9 below) , |kω>will continue to shift unidirectionally along the “PNSS perturbation highway” (PPH) with the step until it exits from one end of the PPH.4.6.3.4. Start of unidirectional continuous movement of NESThe behavior of two (or more) NESs on PPH is also important. An initial NES|kω>may have Wkωkω=0, so it is still on PPH. But if two NESs|kv1> and |kv2>are present with Wkv1kv2≠0, they will form two new NESs|kω1> and |kω2> with Wkω1kω1≠0, and these two new NESs will start to continuously move on PPH (and in opposite directions) , activating continuous movement of NESs along the PPH.4.6.4. PNSS section outside PPH (Zone II)The termination of NES movement along PPH can be: 1) some ks in the current DP no longer satisfies (4-20) , and / or 2) the NES no longer remains not hybridized with PNSS. If the current DP originally belonged to PPH, it now withdraws from PPH due to hybridization between PNSS and the incoming NES, and the PPH undergoes degradation. For illustration, we call the section where PPH can be established "zone I" , and call the PNSS area where PPH is not present "Zone II" .4.6.4.1. The transition of zone I to Zone IIAs a possible picture, the PNSSs in Zone I transform into NESs in batches, and the number of states transformed in each batch is small enough to keep the number of NESs on PPH sparse (such as only one pair of NESs) , that is, most current DPs only include up to one NES, and occasionally there is a DP that includes two NESs to initiate the movement of stationary NESs. The end of PPH also gradually deteriorates to become Zone II. This process continues repeatedly. The depletion of Zone I forms the superconducting gap and the dip; the NESs shifted to and piled up in the zone II form the peak, the hump , and the possible peak of Bogoliubov Quasiparticles

[0010]

[0011] .So far, we have assumed that all ks in each DP in Zone I satisfy (4-20) , but obviously this cannot (at least it is difficult to) be directly realized. The solution to this problem will be explained in Chapter 9.5. Projection Operators and Orthogonal Relationships of Joint Wave Functions5.1. Projection operator of joint wave functionTo determinethe projection operator of joint wave function needs to be determined first. For:There isand aj is the solution of the equation set:The equation set (5-2) is formally the same as (4-5) , and its solution is:where Λ is the same as in (4-30) , Λj is obtained by replacing the j-th column of Λ by F is the determinant representation of the joint wave function of the M electronic states in the Z group, and Qj is obtained by replacing the |j>in the j-th column of F by (Whenandit becomes the form in (4-5) . ) We need to introduce the argument relationship intofor which we take:Inκjrepresents that the j-th column of Qj or F is replaced by <δ (i) |, where i represents row indexes as well as the arguments, then there is:According to (5-4) and (5-5) , there is:That is, κj inrepresents that the j-th column of Qj or F and is replaced with |δ (x-xi) >, (κj can be applied to the right in the form of <δ (x-xi) | or to the left in the form of |δ (x-xi) >. Substituting (5-5) and (5-3) into (5-1) we get:Thus the projection operator can be:Another more convenient form of the projection operator is:<λj|=<F|κjis obtained by replacing the j-th column of the numerator of<F|F>or<F|Qj> by <m|, and m is also the line index. Therefore, forfor example, there : areand<λj|m>=δjm (5-10) ,and by expanding the determinant of |λm> according to the minor Λim of <F|F>, we obtain:5.2. Orthogonal relationship of joint wave functionsEquation (5-10) has the orthogonality. Therefore, Equation (5-10) is the orthogonal relationship in the presence of joint wave function, that is, the orthogonal relationship between the single particle wave function |m>and the joint wave function<λj|, and it is also the orthogonal relationship in the presence of non-Hermitian operator. When the anti-Hermitian component disappears, the orthogonality with respect to joint wave function transforms to the orthogonality of single particle wave functions.6. Interweaving of ζPerturbations and Time-dependent PerturbationsTime-dependent perturbation under non-orthogonal basis vectorsDue to the formation of non orthogonal basis vectors by ζperturbation, the existing time-dependent perturbation formulas such as (2-3) are no longer suitable, and new time-dependent perturbation formulas need to be derived. The representation of the wave function under the new basis vectors is:Substituting (6-1) into the basic equationtogether with H=H0+H' (t) and H0un=Enun, we obtain:Multiplying (6-2) byuk*and denoting<k|n>=<uk|un>and H' kn=H' kn (t) =<k|H' (t) |n>, we obtain:The result with the zero order coefficient is the same as that of the existing art:The relationship for the first order coefficients is:For consideration now is the case where the component of the initial state um is transferred to another state uk at time t. Therefore, and we obtain:Now considering the several situations of:1) and (both the initial and the final states are outside the group) , then <k|n>=0, and the results given by Equation (6-6) are the same as those in the art:2) m∈Z and (from an initial state within the group to a final state outside the group) , the result is the same as Equation (6-7) .3)and k∈Z (from an initial state outside the group to a final state within the group) , Equation (6-6) gives the equation set:The coefficient determinant of (6-8) is:det|<k|n>|=Λ     (6-9) .The permutation determinantis formed by replacing the nth column of by Λwith that is:is formed by replacing the n-th column of F by |m>. The solution of (6-8) is:The permutation determinantis formed by replacing the n-th column of Λby:As described in Sec. 4, the wave functions of ESs in ESN are indeterminate, that is, at least some of the coefficients of the linear combinations of base vectors the wave functions are indeterminate. Therefore, the establishment of (2-2) is fully ensured. (2-2) establishes PNSS, PNSS forms ESN, ESN makes PNSSs have indeterminateness; and the latter ensures (2-2) .7. Solid and / or superconducting phase transition model based on AHI according to the present inventionWhen the level repulsion based on Hermitian interaction occurs at or near FS, it may provide energy saving, so the mechanism causing energy level repulsion near FS is usually the primary candidate mechanism for phase transition model. In contrast, the direct consequence of level attraction based on AHI is generally an increase in the energy of the system, which may also be one reason why the anti Hermitian level attraction has not been given much attention. A process that cannot provide energy saving is usually a process that cannot be realized. Furthermore, energy saving not only determines whether a process may occur, but also determines how it occurs. A typical example is covalent bonds, in which energy saving not only is the cause of covalent bond formation, but also stipulates the way covalent bonds occur by saturation, thereby optimizing energy saving.Therefore, the reason why anti Hermitian level attraction occurs and establishes ESN is that it can provide a mechanism for energy saving by establishing PPH. The principle of providing and optimizing energy saving is further implemented in more detailed aspects of the PPH mechanism, including the configuration of the PPH segments, critical temperature relationships, and the occurrence of the Meissner effect, as will be explained and discussed in Chapter 9.8. Observability and Realizability of AHIHermiticity of operator is a basic topic. In earlier discussions, it was not clearly stated whether "an observable must be Hermitian. "

[0012] As explained above, a sufficient and necessary condition for an anti Hermitian operator to become an observable is that for a system characterized by basis vector set |i>, there is<i|ζ|i>=0. The condition for the realization of an AHI is that it can cause energy saving; in other words, an interaction may manifest as either Hermitian or anti Hermitian, depending on which effect can generate (greater) energy saving. But Hermitian (and therefore level repulsion) interaction can occur between basis vectors of the same energy level or between basis vectors of different energy levels, while AHI can only occur between base vectors of different energies. In quantum mechanics, interaction is typically manifested as disturbance, which inevitably leads to hybridization of basis vectors. AHI corresponds to hybridization of the wave functions of basis vectors, and the hybridization can occur among multiple basis vectors and can be pooled.According to Fermi statistics, the occupancy probability of an electronic state can be written as [3] [6] :EFis the Fermi level, and α corresponds to or characterizes the chemical potential (CP) of the electronic state. Obviously, α represents the trend of electronic transitions leaving the current electronic state; the larger the value of α, the more likely the electron is to transit from the current electronic state to other electronic states, that is, α represents the disturbance to the current electronic state, which causes hybridization between the current electronic state and other electronic states. The hybridization caused by disturbanceH' =α is Hermitian, while disturbance likeH' =ζ=-χ (α-αH)      (8-2)causes anti Hermitian hybridization, i.e. hybridization with level attraction. In (8-2) , χ is a coefficient with energy dimension and can be an imaginary number; αH is the part of α that cannot exhibit as AHI. Hybridization has saturation, and in the scenario of (3-9) , saturation occurs at E+=E_and |a|=|b|, at which the two perturbed energy levels become degenerate, and the hybridization of the wave functions reaches maximum. Therefore, the saturation of hybridization corresponds to the upper limit of the hybridization ratio of the wave functions; due to that wave function hybridization is caused by ζ, saturation corresponds to the matching distribution of ζ values among the various electronic states involved in the hybridization; therefore, hybridization based on ζ is also poolable.In summary, within the framework of this model, as long as level attraction based on AHI occurs, the various effects mentioned in this article will occur, especially those explained in chapters 4, 5, and 9.9. Establishment of zero coefficient determinant and related effects(4-20) is a necessary condition for (4-18c) and / or (4-18d) to have a solution at But obviously (4-20) can only hold for certain special cases of ESN. There is reason to expect that (4-20) is related to superconducting phase transition, but further investigation, as discussed below, shows that the relationship between (4-20) and superconducting phase transition is more complicated.9.1. Zeroing the coefficient determinant by a special 'pairing' and 'double pairing'ESN can contain two or more disconnected subnets, and the simplest form of subnet is pairing.9.1.1. Zeroing the determinant of coefficient by ordinary "ζpairing"For (3-2) , ψk=akφi0+bkφj0 (k=1, 2) , and when:<φi0|Wφi0>=<φi0|Wφj0>=<φj0|Wφj0>=0   (9-1) , there is<ψ1|W|ψ1>=<ψ1|W|ψ2>=<ψ2|W|ψ2>=0    (9-2) .Now, for |ks>=|ψ2>=|2>, (4-20) obviously holds:<F||Q2 (Wmμ2) >=0     (9-3) .9.1.2. Zeroing the determinant of coefficient by 'double pairing'The basis vectors of a determinant <F||Qks (Wmμks) >are determined by the ζ perturbation, so whether (4-20) holds also depends on the way of the ζ perturbation. There is a 'double pairing' that can facilitate the establishment of (4-20) .In the absence of a magnetic field, two pairs of spin-up and spin-down initial electronic states, having spatial wave functions φi0 and φj0 respectively, enter ζ perturbation to become:The superscripts 1 and 2 represent the two directions of spin, respectively. Letting the spin part of the wave function asandrespectively, as the spins ofandare entangled, and there are:andandhave the same relationship as (9-5) and (9-6) . From the anti Hermitian properties of ζ there are:and the equation set corresponding to (3-3) is:The duration equation is:or(Ei0-E) (Ej0-E) [ (Ei0-E) (Ej0-E) +4|ζij|2=0     (9-10) .Substituting E=Ei0 into (9-8) we obtain c+d=0, a+b=0 and c-d=0, so c=d=0, and the wave function is:The wave function forE=Ej0 is:The other two solutions are those of level attraction, namely:E3 / 4= (Ei0+Ej0)  / 2± [ (Ei0-Ej0) 2-16|ζij|2] 1 / 2 / 2    (9-13) ,and their wave functions are:andc3and c4are normalization coefficients. The orthogonal relationships are:<ψ1|ψ2>=<ψ1|ψ3>=<ψ1|ψ4>=<ψ2|ψ3>=<ψ2|ψ4>=0     (9-16) ,andSo the four state grouping consists of a diagonalized 2×2 sub-determinant and a non-diagonalized 2×2 sub-determinant. As long as:<ψ1|W|ψ1>=0 and / or <ψ2|W|ψ2>=0   (9-18) ,that is,<φi0|W|φi0>=0 and / or <φj0|W|φj0>=0     (9-19)then (4-20) holds for |ks>=|ψ1>and / or |ks>=|ψ2>.9.1.3. Zeroing the determinant of pooled ζ perturbation for "multi pairing"Although (9-19) allows (4-20) to hold for nodes ψ1 and / or ψ2, if there are other states that do not satisfy (4-20) at energy E1 and / or E2, PPH cannot be established at energy E1 and / or E2. At E1, in addition to ψ1 in (9-11) , there may also be ψ3 of (9-14) (from other double pairings) , and electronic states of pooled grouping of Sec. 3.4. But the energy levels in pooled grouping is indeterminate, so the key to establishing PPH at E1 is to avoid ψ3 from appearing at E1, or to make ψ3 a state in a pooled grouping, that is, a grouping of "multiple pairs" , which can actually be achieved. For example, the determinant of the coefficients for four pairs of spin-up and spin-down electronic states is:Obviously, due to partial symmetry, each E=Eik (i=1, 2, 3, 4) is a solution of the duration equation of the determinant. And from the symmetry relationship of (9-20) , it can be seen that the solution for E=Ei1 is a=-b, and the wave function is the same as (9-11) :and as to the solutions of level attraction for E≠Eik there are:and etc., so there is a=b, that is, the φi0 term of the wave function ψk (k=5, 6, 7, 8) is so there is:where γki is coefficient, thus satisfying orthogonal relations:<ψi|ψk>=0 (i=1, 2, 3, 4; k=5, 6, 7, 8)       (9-24) .Obviously, the above results of (9-21) - (9-24) are equally valid for any number of pairs of spin-up and spin-down electronic state pairs. That is, when any number of N pairs of spin-up and spin-down electronic states are in "pooled grouping" , N states of (9-21) will be formed, plus the states of (9-23) from level attraction pooled grouping of N initial states φi0.(When there is degeneracy in the initial energy levels, such as when in (9-20) there is Ei1=Ei3, then the wave functionsψ1 and ψ3 when E=Ei1=Ei3 have greater degree of indeterminateness as:where the coefficient ratio γ1k / γ3kcan be indeterminate, but it may be further constrained to accommodate (4-20) . )9.2. Dynamic PPH and Renormalization of Electronic State System Based on ItIn this way, the states within the energy range involving PPH include:1) The electronic states φi0 of (9-21) or (9-25) , which satisfy <φi0|W|φi0>=0 and thus satisfy <F||Qi0 (Wmμi0) >=0; these states are referred to as "nodes I" , which are ESs with unchanged energy levels in the "multi pairing" pooled ζ perturbation;2) The ESs ψk formed by the ordinary "ζ pairing" as represented by (9-1) to (9-3) , which satisfies <F||Qk (Wmμk) >=0; we call this type of ESs "nodes II" ;3) The ESs formed by the ordinary pooled ζ perturbation described in Section 3.4 and the states ψk characterized by (9-23) (the electronic states with level attraction in the "multi pairing" pooled ζ perturbation) ; the two types of ESs are established by pooled ζ perturbation, and their energy levels are indeterminate; these ESs are referred to as "nodes III" .Nodes II are generally 2×2 subnets, although larger subnets can also form nodes II, but the difficulty of satisfying (4-20) increases accordingly. Nodes I are in a subnet (s) formed by multiple pairs of ESs. So the entire ESN includes: multiple subnets of nodes II, mainly 2×2subnets; at least one subnet including nodes I, with half of its ESs forming nodes I and the other half of its ESs forming nodes III; and, at least one subnet of nodes III formed by pooled ζ perturbation.In this way, within the energy range relating to PPH, nodes I and II satisfy (4-20) , while node III generally does not satisfy (4-20) ; but it is possible to adjust the perturbation coupling relationship among the initial ESs that form nodes III so that the energy levels of all nodes III are not at the current DP (s) . In this way, in the current DP, there are only nodes I and II that satisfy (4-20) and a possible small number (e.g. up to 3) of NESs, thus establishing the PPH described in section 4.6.3.3 in the current DP. When an NES moves to the next DP, the next DP becomes the current DP, and the above process is repeated. That is, by adjusting the perturbation coupling relationship among the initial ESs that establish nodes III, it is established that the energy levels of all nodes III are not at the current DP (s) . This process is repeated until the NES moves outside of PPH or degrades the current DP to Zone II (pile-up zone) .In this way, within the energy range relating to PPH, a dynamic PPH is established, which is dynamically established due to the emergence of NES (s) . The renormalization process includes:A1) at the beginning, nodes I and II formed by initial ESs that satisfy (4-20) form a "quasi continuous" path, and all other ESs within the energy range relating to the path become nodes III each with indeterminate energy level;A2) some nodes III (and / or some nodes I and II) are reduced to the initial NESs; PPH is established in the DP (s) where the reduced NES (s) is located;A3) the NESs starts movement on PPH as described in section 4.6.3.4;A4) PPH is established at the DP (the new current DP) where the NES (s) is located aftermovement, and the NES (s) continues to move on the PPH;A5) repeating step A4 until the NES in the current DP moves outside of PPH or degrades the current DP to zone II (pile-up zone) ; andA6) repeating steps A2-A5 until the system's free energy reaches its optimal value.What we actually observed should be the system state after step A6 has been (mostly) completed. At this point, some or even nearly all nodes III have been reduced to NESs and moved. And the relative concentrations of the remaining nodes I and II are very low, so they are basically invisible in the measured electronic state spectrum. Therefore, in actual measurements, the effect of level attraction may not be directly visible. The phenomena related to renormalization, such as the decrease of band slope, might mainly be the result of NESs moving and accumulating along PPH. (It may also be likely that nodes III of substantial concentration still exist at the nodal region of cuprates in superconducting state to exhibit the nodal kink. )9.3. The relationship between renormalization and critical temperatureAt FS, half of the ESs are occupied. The arrangement of occupied-unoccupied states at a certain energy constitutes permutation entropy. Obviously, the permutation entropy at FS is the greatest. Moving an ES away from FS will result in a decrease in permutation entropy by about k ln 2. The establishment of superconducting energy gap is the process of moving ESs away from FS and its vicinity. If the movement of ESs is by Hermitian "level repulsion" , then only when the magnitude of the movement of one downward moving ES (minus the increase in "elastic internal energy" caused by the movement) is greater than about kT ln 2, is the movement favored.But in the NES movement described in section 9.2, the situation is more complicated. The initiation of NES movement described in section 4.6.3.4 typically includes the opposite movements of two NESs, which is similar to the case of Hermitian level repulsion. But the accumulated amplitudes of the opposite movements of the two NESs are not necessarily symmetrical, but are dependent on the position of the PPH segments, the starting position of the movements of the NESs, and the relative relationship between these positions and FS. At least some of these positions can be freely configured according to the optimization of free energy, therefore, these positions, the positions of the depletion and / or pile-up zones of the NESs, and the magnitudes of depletion / piling-up may all vary with system parameters including temperature. For example, at sufficiently low temperatures, it is advantageous to move a pair of NES away from FS in opposite directions, thereby forming a gap at FS; but at a higher temperature, it may be advantageous to move one of a pair of NESs located at an energy below FS downwards, while moving the other of the pair of NESs upwards to a position slightly higher than or equal to FS, resulting in depletion of ES (i.e. forming a gap) in a certain range below FS.For PDH phenomenon, according to the PPH mechanism of this model, it can be explained as follows: two PPH segments, an upper and a lower PPH segments, are present, and the ESs at and near FS are depleted through the upper PPH segment, forming a so-called superconducting gap. The dip is a depletion region in the lower PPH segment, the peak is the pile-up region between the upper and lower PPH segments, and the hump is the pile-up region in the lower PPH segment. There should be a further pile-up region above the superconducting gap, at the position of the Bogoliubov quasi-particles peak

[0010]

[0011] .9.4. Superconducting phase and its competitive phaseWhy some systems cannot be superconductingThe magnetic field will directly destroy (9-20) , thereby directly destroying nodes I. But nodes II will not be destroy by magnetic field. Nodes II are formed by level attraction, so the PPH range established by them is smaller than that established by nodes I. In other words, nodes I can support a larger ES movement amplitude (alarger gap) . However, since the amplitude of ES movement needs to subtract the increase in "elastic internal energy" caused by the movement to achieve energy saving, a larger amplitude of ES movement may not necessarily be favored; if the 'elastic internal energy' increases too quickly with the amplitude of ES movement, nodes I will have no advantage, and the system will not have a superconducting phase.The so-called "superconducting phase transition" is usually characterized by Meissner effect. But Meissner effect will increase the free energy of the system. If there is a lower threshold for the increase, then Meissner effect can only occur when the free energy advantage of nodes I relative to nodes II is greater than the threshold. Otherwise, Meissner effect cannot occur in the system. This could be the second reason why the system cannot superconducting.It can be seen that nodes II constitute a competitive phase of superconductivity, which is not in favor of the system entering and / or maintaining superconducting phase.9.5. Indeterminateness of Solutions and Its Effects9.5.1. The impact of solution indeterminateness on the regional properties of renormalizationOnly when nodes I and / or II are present in the current DP, can (4-18c) have solution at Even in a system with low symmetry like cuprates, each ES has three symmetric states of the same energy (except for states on the symmetry axis) , meaning that each of nodes I and II has three nodes with the same energy. If there are n NESs in the current DP, then generally n+1 nodes I and / or II are needed for (4-18c) and (4-18d) in the current DP to hold simultaneously. So each DP in cuprates can generally accommodate up to three NESs at one time. But an exception may arise when there is Wkωkt=0 in (4-18d) , which may occur when nodes I and / or II are confined in a small range of k space, such as the nodal region, while renormalization occurs in a k space region at a certain distance away from the nodal region (such as anti-nodal region) . However, this does not mean that the nodal region will not undergo renormalization. But in actual measurement results, the renormalization in the nodal region was indeed at least much weaker than that in the anti-nodal region. Therefore, one possible scenario for cuprates high-temperature superconductors is that the nodes I and / or II that make up the PPH are concentrated in the nodal region in k-space to accommodate the high rate of NES dynamic flow in the anti-nodal region.9.5.2. Impact of solution Indeterminateness on time-dependent perturbation relationshipsWhen a plurality of nodes I and / or II are present in a DP, the establishment of equation (2-2) involving the wave function solutions of the DP is guaranteed.9.5.3. Impact of solution Indeterminateness on measurement resultsAs a result of renormalization, part of the region where PPH was located becomes pile-up region, and due to that each DP in PPH region the pile-up region contains a plurality of nodes I and / or II, the ES wave functions of the solutions in the PPH and pile-up region have indeterminateness, which will enter the measurement results such as those of ARPES, leading to that the measurement results were dependent on measurement parameters (such as the energy of detecting photons) [1] , that is, the measurement parameters act as additional constraints to partially or completely eliminate the indeterminateness of the wave functions. Thus, when evaluating the results of such measurements, it seems necessary to take account of the effect of the indeterminateness.9.6. SummaryThus, we have completed our description of the model of the present invention. The present model provides a novel microscopic mechanism for lattice motion without introducing any specific additional conditions, and the mechanism characterizes numerous physical phenomena and their corresponding relationships mentioned above.The hybridization of wave functions based on the AHI is the basic starting point of the present model; as long AHI occurs, wave function hybridization of level attraction, as well as the various subsequent effects as described in this article, will occur. An example of the W interaction intertwined with the hybridization of the wave functions can be CDW, and the microscopic mechanism of the W interaction such as CDW is not necessary for establishing the present model, just as the microscopic mechanism of the hybridization of the wave functions of AHI is not necessary for establishing the present model. Both the W interaction and the hybridization of wave functions based on AHI are means for realizing energy saving, and therefore the logical reason for their occurrence is energy saving itself. So, the occurrence of AHI and the occurrence of Hermitian W interactions have the same logical rationality.Due to that the present model at most only takes lattice, AHI causing hybridization of wave functions and Hermitian W interaction as starting points, it is a correspondingly general and fundamental model of lattice movement. On the other hand, it is quite surprising that the present model characterizes the various physical phenomena and related relationships mentioned above and the characterization is at least qualitatively consistent with corresponding experimental results.10. Hermiticity and anti-HermiticityThe anti-Hermitian component of the operator makes the single particle energy eigenstates lose their orthogonality. Orthogonality is an independence, so is energy eigenstates. The consequences of "energy eigenstates and orthogonality cannot be achieved simultaneously" caused by anti-Hermitian components make PNSS appear to be a stage of under-development of state. PNSS only obtains partial rather than complete independence, so the orthogonal energy eigenstates of Hermiticity appear to be a more developed state. But "a Hermitian operator including an anti-Hermitian operator" does have higher significance: real numbers do not completely exclude imaginary number, imaginary number enters real numbers through zero, and anti-Hermiticity enters into Hermiticity. But the anti-Hermitian components of the operator, by zeroing the interactions within ESN, also partially restore diagonality of the interaction matrix, thereby partially restoring Hermiticity. The restored Hermiticity is no longer pure Hermiticity, but is a property compatible with ESN.References:[1] Borisenko, S.V., et al. "What the resonance peak does. " Arxiv Cornell University Library (2002) .[2]Kordyuk, A.A.; Borisenko, S.V.; Kim, T.K.; Nenkov, K.A.; Knupfer, M.; Fink, J.; Golden, M.S.;Berger, H.; Follath, R., Physical Review Letters, vol. 89, Issue 7, id. 077003. DOI: 10.1103 / PhysRevLett. 89.077003.[3] Huang Kun, "Solid State Physics" , pp. 201-205, the People's Education Press, published in June 1966. Huang Kun, Solid State Physics, Section 4-8, Higher Education Press, October 1988 ISBN 978-7-04-001025-1.[4] L. I. Schiff, Quantum mechanics, 3rd Ed., Sec. 44, McGram-Hill Book Company, 1968.[5] Norman, M.R. Cuprates-An Overview. J Supercond Nov Magn 25, 2131–2134 (2012) . https:  / / doi.org / 10.1007 / s10948-012-1637-7.[6] Wang Zhuxi, Introduction to Statistical Physics, People's Education Press, Unified Book No. 13012.0131, August 1965, 2nd Edition.[7] Zeng Jinyan, "Quantum Mechanics, " Third Edition, Science Press, 2000.[8] Physical Review Letters 121 (13) , September 2018, DOI: 10.1103 / PhysRevLett. 121.137203.[9] H. Xu, D. Mason, L. Jiang, and J. G. E. Harris, Nature 537, 80 (2016) .

[0010] Matsui, H. et al. BCS-like Bogoliubov Quasiparticles in High-Tc Superconductors Observed by Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy. Phys. Rev. Lett. 90, 217002 (2003) .

[0011] Lee, W., Vishik, I., Tanaka, K. et al. Abrupt onset of a second energy gap at the superconducting transition of underdoped Bi2212. Nature 450, 81–84 (2007) .

[0012] P. Dirac: The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press 1958.

Claims

1.A modeling method for solid phase transition, characterized by comprising:A) performing ζ perturbation based on quasi chemical potential operator ζ, wherein ζ is anti-Hermitian and the ζ perturbation establishes an electronic state network ESN;B) establishing a degenerate perturbation equation set for ESN, whose solutions contain at least one of two components: pure non-stationary PNSS and normal electronic NES.2.The modeling method according to claim 1, further comprising:C) determining the condition for zeroing the coefficient determinant of the degenerate perturbation equation set;D) establishing PNSS perturbation highway PPH, on which an NES can continuously shift in one direction.3.The modeling method according to claim 2, wherein the energy range of PPH includes:nodes I, which are the electronic states with unchanged energy levels in the pooled ζ perturbation of a plurality of pairs i; each node I satisfies <φi0|W|φi0>=0 and <F||Qi0 (Wmμi0) >=0; i is the index of said pairs; each pair i includes two electronic states with the same spatial wave function φi0 and opposite spin respectively; mμ is the index covering all electronic states in ESN; W is a Hermitian perturbation;nodes II, which are electronic states ψk formed by ζ pairing, each Node II satisfies <F||Qk (Wmμk) >=0; k is the index for all Nodes II;nodes III, which are the electronic states formed by pooled ζ perturbation and the electronic states of level attraction in the pooled ζ perturbation of a plurality of pairs i; each node III is established by pooled ζ perturbation, and the energy level of a node III is indeterminate.4.The modeling method according to claim 3, wherein:ks tends to stay at a point and / or a neighborhood of the point in k space.5.The modeling method according to claim 2, wherein:PPH comprises an upper segment and a lower segment, with the upper segment being in a higher electronic state energy range and the lower segment being in a lower electronic state energy range.6.The modeling method according to claim 2, wherein:An NES that has shifted on PPH hybridizes with PNSS to stop shifting, and its hybridized wave function is indeterminate.7.The modeling method according to claim 2, wherein:the solution when the coefficient determinant of zero is a solution of superconducting phase.8.The modeling method according to claim 3, wherein the PPH support a renormalization process including:A1) at the beginning, nodes I and II form a "continuous" path;A2) some nodes III, and / or some nodes I and II, are reduced to the initial NESs; PPH is established in the DP (s) , the current DP (s) , where the reduced NES (s) is located;A3) the NESs starts movement on PPH;A4) PPH is established at the DP, the new current DP, where the NES (s) is located after the movement, and the NES (s) continues to move on the PPH;A5) repeating step A4 until the NES in the current DP moves outside of PPH or degrades the current DP to a part of pile-up zone, which is no longer a part of PPH; andA6) repeating steps A2-A5 until the free energy of the system undergoing the solid phase transition reaches its optimal value.

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