Method for modeling solid state and / or superconducting phase transition based on Anti-hermitian operator and electronic state network

Abstract

The present invention provides a method for modeling solid state and / or superconducting phase transition based on anti-Hermitian operator and electronic state network (ESN), in which: 1) quasi chemical potential ζ causes anti-Hermitian and level attraction ζ perturbation; 2) ζ perturbation established ESN; 3) the solution of the degenerate perturbation (DP) equations for ESN includes two components: pure non-stationary state (PNSS) and normal electronic state (NES); 4) when the coefficient determinant of the equations is zero, the PNSS and NES components can avoid hybridization with each other; 5) the solutions which avoid hybridization establish a PNSS perturbation highway (PPH) on which NES can continuously move. In addition, an ESN node ks which zeros the coefficient determinant is in a "double pairing"; PPH includes upper and lower sections; the shifted NESs hybridize with PNSSs to stop shifting, and the hybrid wave functions are indeterminate. The matrix element, projection operator, and orthogonal relationship of the joint wave function of the electronic state network were established, and characterization of the time-dependent perturbation related to the chemical potential was tried.

Description

Method for Modeling Solid State and / or Superconducting Phase Transition Based on Anti-Hermitian Operator and Electronic State NetworkField of the inventionThe invention relates to a method for modeling solid state and / or superconducting phase transition based on anti-Hermitian operator and electronic state network.Background technologyAmodel of superconducting phase transition needs to provide explanation of known superconducting phenomena such as the "peak-dip-bump" (PDH) phenomenon in the anti-nodal region [1] and the kink in the nodal region [2] of cuprate high temperature superconducting systems. It is also necessary to explain the energy saving related to phase transitions. Generally speaking, the appearance of energy gap or energy level repulsion at the Fermi surface can lead to energy saving, resulting in phase transition; but such a phase transition may not necessarily be a superconducting phase transition.Summary of the inventionAccording to one aspect of the invention, a modeling method of superconducting phase transition based on anti-Hermitian operator and electronic state network is provided.Detailed description of the invention1. Cause of energy savingThe level repulsion at and / or near the Fermi surface (FS) can lead to energy saving, leading to phase transition; but such transition is not necessarily a superconducting one. The energy correction led to by traditional level repulsion [3] is one-time only. But in the model of the present invention, the energy correction of an elect4ronic state can be repeated unidirectionally through a pathage formed of pure non-stationary states (PNSSs) . We first discuss the mechanism of the occurrence of the quasi-chemical potential in the superconducting phase transition scenario.2. Time-dependent perturbation of Lattice-electron coupling2.1. PNSS (pure non-stationary state)According to the existing theories, the interaction matrix in lattice-electron coupling is:{aij} , i, j=1, 2, 3…… (2-1) ,where the range of values of i and j can be all electronic states (Bloch states or their superposition states) in the lattice.Due to the modulation of lattice waves (and / or possibly other Bosonic modes) [3] , the diagonal matrix elements in (2-1) are in one of the three states: 1) aii=1, 2) aii=0, and 3) 0<aii<1. Case 1) is the traditional "static state" , and the opposite cases 2) and 3) should be called "non-stationary state" . But the situation of aii=0 is unique. In this description, the state aii=0 is called "pure non-stationary state" (PNSS) to distinguish it from the situation of 2) .2.2. Establishment and maintenance of PNSSThe matrix of (2-1) is Hermitian and each row of its elements is normalized, that is:Thus, a conduction can be established among the rows of the matrix, that is, different rows are coupled by|aij|2=|aji|2, so that those rows that have lost their redundant terms due to that their diagonal element are zeroed (aii=0) can call the redundant terms of other rows with ajj≠0 to maintain aii=0 of the current row. When a diagonal element is non-zero, it functions as a redundant term of its row to provide redundancy for normalization of its row; that is, the diagonal matrix element plays a dual role in formula (2-2) : 1) when it is not zero, it is the resource for the establishment of (2-2) ; and, 2) when it is zero, it is the burden for the establishment of (2-2) . But as will be described below, the primary cause for the establishment of (2-2) is the indeterminateness of wave functions of the electronic states.The modulation of electronic states by lattice wave modes is not limited to the first order time-dependent perturbation, but also includes perturbation terms of higher order. The matrix element of time-dependent perturbation is initially expressed as an iteration relationship [4] , and its nth order is expressed as, for example:The applicable condition of matrix element representation in summation formis whether the summation converges.However, time-dependent perturbation and ζperturbation are not independent of each other, rather they are interwoven. As will be explained in the following text, this interleaving leads to the indeterminateness of the wave functions.3. Electronic grouping and level attraction caused by quasi chemical potential (QCP)3.1. Quasi chemical potential and the electron grouping led by itWe need to explain how the "energy saving" that leads to superconducting phase transition occurs [5] . Chemical potential represents the trend of particle redistribution [3] [6] . In CN202210325948.9, we discussed a mechanism of occurrence of quasi chemical potential (QCP) , wherein the occurrence of QCP is related to PNSS. Specifically, PNSS may entangle with a phonon so as to have QCP of a magnitude corresponding to the energy of the entangled phonon. We use ζ to indicate QCP operator.The effect of ζ is similar to chemical potential in that it makes the electron on an electronic state tends to be unstable. That is, ζcauses a disturbance to the electronic state. This disturbance causes the electronic state to seek to get rid of the instability by lowering its energy level. A known way to change the level is by hybridization [3] of the wave functions of this electronic state and other electronic state (s) . However, unlike traditional wave function hybridization, the hybridization here leads to level attraction and therefore should be based on anti-Hermitian perturbation, as shown below.3.2. Perturbation caused by chemical potentialTherefore, ζof an electronic state leads to a perturbation (ζperturbation) to the electronic state. Let the state before the perturbation be expressed as φi0 (Ei0) , in which i=1, 2, ....... covers all the states subjected to the perturbation, and the state after the perturbation be expressed asφi; the Hamiltonian isH=H0+ζ, then:H0φi0=Ei0φi0  (3-1) .When the perturbation is carried out in the form of electronic state pairing, writing the perturbed state ψ as:ψ=aφi0+bφj0  (3-2) ,and substituting Hψ=Eψ into (3) we will get:3.3. Chemical potential difference-energy difference matching operator(3-2) is the well-known equation of the "two-level" perturbation. Typically there is: .<φi0|ζ|φi0>=<φj0|ζ|φj0>=0  (3-4) .And if ζ is Hermitian then:<φj0|ζ|φi0>=<φi0|ζ|φj0>*=ζji  (3-5) ,and the solvable condition of (3-3) leads to the ordinary result of "two-level" perturbation [7] :(Ei0-E) (Ej0-E) -|ζji|2=0  (3-6) .3.4. Anti-Hermitian operator and "level attraction” effect it leads to(3-6) is not a "level attraction" result we desire, to obtain which ζ needs to be anti-Hermitian, that is:<φj0|ζ|φi0>=-<φi0|ζ|φj0>*=ζji  (3-7) .then (3-6) becomes one with "level attraction" solutions:(Ei0-E) (Ej0-E) +|ζji|2=0  (3-8) ,The solutions of (3-8) are of "level attraction" :E±= (Ei0+Ej0)  / 2± [ (Ei0-Ej0) 2-4|ζji|2] 1 / 2 / 2  (3-9) ."Level attraction" is a relatively less discussed phenomenon. There are reports in the fields of magnetic-optical coupling and machine-optical coupling [8] [9] . As such, the work of the present invention for the first time confirms "level attraction" phenomenon in solid state physics.3.5. “Pooled grouping” of multiple PNSSsObviously, a plurality of (M) PNSSs may perform grouping, in which (3-2) is replaced by an equation set of M linear equations and M variables, and the PNSSs are divided into two groups: a resource group including M1 PNSSs with the energy of each of which is to be increased, and a burden group including M2 PNSSs with the energy of each of which is to be decreased, with M1+M2=M. Each of the burden PNSSs has its ζn,n=1, 2, ......M2. These ζns are pooled in the perturbation, and the grouping is a pooled grouping.3.6. The effect of anti-Hermitian operator, electronic state network (ESN)The sum H0+ζof Hermitian operator H0and anti-Hermitian operator ζ is not Hermitian. One consequence is that the two electronic states of the modified energy level E± of Equation (3-10) are not orthogonal to each other. There are two types of eigenvalues, one for the energy eigenequation, and the other for the operator matrix. For a Hermitian operator, the two eigenvalues are the same. But they become different for non-Hermitian operatorH0+ζ. The solutions E±of (3-10) are merely eigenvalues of the energy eigenequation, not those of the matrix of operator H0+ζ. The two electronic states of E± are energy eigenstates, but they cannot diagonalize the matrix of H0+ζ. We can use the wave functions f1 and f2 of the two energy eigenstates to construct two orthogonal states, but these two orthogonal states are not energy eigenstates, rather they are entangled states of the two energy eigenstates of f1 and f2. This is the consequence of that the operator H0+ζ loses Hermiticity.The matrix that is no long diagonalized is the matrix of electronic state network (ESN) . In other words, anti-Hermitian operator creates ESN.It is also to be noted that (3-4) is necessary, as it ensures that H0+ζbe an observable.4. Interweaving of two perturbations4.1. Non degenerate W perturbation relating to ESNζperturbation coexists with static W perturbation (such as CDW perturbation) , and time-dependent perturbation of lattice waves is further added on them. ζperturbation and W perturbation interweave. Moreover, the ζperturbation and the time-dependent perturbation also interweave. Both types of interweaving result in respective substantive effects.We first discuss the interweaving of ζperturbation and W perturbation. Below, j∈Z (or j∈M) is used to indicate thatbelongs to the ESN. For at least a portion of the base vectors in the ESN there is φmj=<m|j>≠0. The first order approximation of the W perturbation is:(in this articlefmj=φmj=<m|j> is also used. ) Multiplying (4-1) by <m| and integrating, we get the equation set:The solution of (4-2) can be generally written as:The symbols used here will be explained in the following text. Several different situations of non-degenerate perturbation are:1) Whenandfor m≠k, φmj=δmj and φmk=0, the usual results are given for (4-2) as:If Wkk=0 is taken; thus for m=k, (4-2) gives:2) Whenand m∈Z, φmk=0; for m≠k (4-2) leads to:Denoting Λ=det|φmj|=det|fmj|, and withbeing formed by replacing the j-th column ofΛ by Wmk, it can be shown that the solution of (4-5) is:Where F is the determinant representation the joint wave function of|j>s (j=1, …M) (including spin content) , F=Ndet||i (n) >|, is formed by replacing the j-th column in F by|k (n) >, (n) represents the n-th coordinate argument, N is the normalization factor:1=<F|F>=N2<det|i (n) ||det|i (n) |>=N2M! Λ (4-6a) .Thus, there are:and3) When k∈Z andthere is φmj=δmj; for m≠k, (4-2) leads to the same results as (4-3) .4)When m∈Z and k∈Z, note for k∈Z there is:But the solution can only be written now as :Meanwhile, even forwithin the electronic state network, since |m> interacts with |k> through node |j> within the network, non-degenerate perturbation (NDP) and degenerate perturbation (DP) cannot be processed separately. DP concerning ESN will be discussed later.The second order approximation of the W perturbation is:Whenandφmj=δmj; for m≠k, there isφmk=0, and (4-9) leads to:Whenand m∈Z， (4-9) gives:assumesthe form of (4-6) (fori∈M) or (4-3) (for) . For m=k, φmj=φkj=0, (4-9) gives:Whenin (9-13) is established, there is:When m∈Z and k∈Z, according to the above discussion after (4-8b) , NDP does not occur.4.2. ESNESN takes each PNSSas one of its nodes and φmj as one of its edges. According to network terminology, the number of non-zero edges φmj of node |j> is called "edge degree" .4.3. W degenerate perturbation regarding ESNLet the undisturbed states (base vectors) be|ju> with H0|ju>=Ej0|ju>, and the perturbed states beMultiplying both sides by <mr|H=<mr| (H0+W) , and integrating, and expressing the orthogonality of the states outside the group as φmrju=<mr|ju>=δmrju, we obtain the DP relationship of:Let the degenerate state energy level to be treated bes include two types: ju∈Z andthere is:According to the DP treatment described in reference [7] , the zero order approximation relationship is:In respective formula, j, n, r-v, μ and ω are respective quantum numbers that label respective degenerate states. The first approximation is:Substituting (4-15) into (4-17) , we get:The states mμ∈Z are all the states in the ESN, with a total number of M, forming a set of M equations about mμ∈Z, with the solutions of:<F||Qjs (Wmμjt) >is formed by replacing the js-th column of <F|F> by Wmμjt. Similarly, for statesin |mr>s, (4-18) gives a set of equations:Taking j=k and m=k for (4-18a) and (4-18b) respectively to obtain:andThen introducing additional adjustable parameters using the properties of the network to write (4-18c) as:mμ is the line index. Under the conditions as described in 9.1, for some |ks>there is:<F||Qks (Wmμks) >=0  (4-20) .so (4-19) and (4-20) give:Their solutions of (4-18c) and (4-18d) will be discussed in Sec. 4.6.4.4. Realization of Wksks=0Wksks=0 is important. |ks> do not generally satisfy Wksks=0. But at least some |ks> can have Wksks=0 and that is sufficient for the establishment of the present model, as will be discussed later.4.5. Joint matrix elementIt is proposed in equation (4-6) :Because this is the matrix element with respect to the joint wave functions F and Q, we call it "joint matrix element" . (Although this operator representation cannot be used for a determinant between states within the electronic state network, we sometimes still formally represent its determinantObviously, the joint matrix element is an extended form of single particle state matrix element. When the anti-Hermitian operator component disappears, the joint matrix element is transformed into a single particle state matrix element. The general relationship of Equation (4-22) is expressed as:For M-order determinants det|fj (i) | and det|gk (i) |, where the row indexes i=1, 2, …M are also the coordinate arguments, j and k (=1, 2, …M) are the column indexes, and fj and gk are the single particle wave functions, then there is:<det|fj (i) ||det|gk (i) |>=M! det|<fj|gk>|  (4-23) ,where j and k in det|<fj|gk>|are row and column indexes, respectively. For example:Proving by induction.Obviously (4-23) holds true for M=2. Assuming it holds true for M=M. For M+1 order, expandingdet|fj (i) | and det|gk (i) |to the minors of their first row of elements and integrating, we obtain (M+1) 2 terms, each of which is the product of an integral and a pair of minors. To the product of each pair of minors, Equation (4-23) is applied. The M+1 terms of the integral <f1 (1) |gk (1) > is the minor expansion of det|<fj|gk>| of M+1order, and the M+1 terms of <f2 (1) |gk (1) > is det|<fj|gk>| of order M+1, and so on. A total of M+1 det|<fj|gk>|s are obtained, and the proof is complete.4.6. Solutions to Degenerate Perturbations Involving PNSSs4.6.1. Non-superconducting PNSS phase(4-18c) can be written as:φmμn is the element in the nth column of determinant <F|F> with n≠ks, and τn is any number and can be a function. In this way, the simultaneous equation sets of (4-24) and (4-18d) have a total of M adjustable parametersand τn. Ifis taken, can be represented bywith (4-18d) :Then from (4-24) we get:(4-26) includes M-1 variablesτn, and its M equations plus a normalization requirement are M+1 constraints. So the wave function of its normal electronic state (NES) must be hybridized byE.g., if there is only one NES in the DP, there are M+2 constraints, and τn, andare merely M+1 variables, so at least oneneeds to be and that NES must be hybridized by PNSS. This should be a phase formed after ζ perturbation has established the electronic state network. If it is energy saving, the system will enter that phase. We are particularly interested in several special situations:1) All states in degeneracy are PNSSs, so (4-18d) are not present. Whenis taken, (4-24) becomes:There are M equations and M-1 adjustable parameters φmμn in (4-27) , so it is generally necessary to have at least two non-zeroin order for (4-27) to have non trivial solution, which means that hybridization between PNSSs will inevitably occur.2) M2=1, that is, there is merely one |kv>=|kω>, (4-18d) now becomes:Where the sign ofis determined byand due to the phase uncertainty ofthe sign ofis adjustable.3) On the orthogonality of the final states of DP. The final states of single state DP are orthogonal to each other under the following conditions: a) the respective final states have different energies (i.e. ) , and b) the basis vectors are orthogonal. In the operations of this section, both of the conditions are usually not met, so the final states are generally not orthogonal. Exceptions are the cases where the NESs are not hybridized by PNSSs, as discussed in 4.6.2.2 to 4.6.2.4.4.6.2. Superconducting phase(4-21) contains one more adjustable parameter ηks than (4-26) and can clearly be written as:When (4-21a) has the solution:The equation set (4-29) has M equations for each ks and is associated with (4-18d) . Obviously, (4-20) improves the adjustability of the solution. Considering several special situations:4.6.2.1. PNSS can be avoided from hybridizationWhen no NES is present, (4-29) can have a solutionthat is, |ks> is free from hybridization. When one or moreif Wkvks=0, (4-18d) will also hold forWhen (4-29) contains M-1 τn and ηks:BTW, the coefficient determinantwhich is zero when (4-20) holds.4.6.2.2. Avoiding NES being hybridized by PNSSFor a NES, it is desired that (4-18d) and (4-21a) have solutions when all(4-18d) is now formally the same as the DP of M2 NESs, that is:And (4-21a) becomes:(4-32) has a total of M equations, where ηks and τn constitute a total of M variables, and their solutions can be determined by the solutionof (4-31) . Particularly, in the equation of (4-32) for mμ=ks, when Wkskv=0, all its coefficients are zero, so it always holds. Thus, due to the additional parameter ηks provided by (4-20) , it is possible to avoidfrom entering the solution of (4-32) ; therefore, the NES in DP with PNSSs can avoid being hybridized by any PNSS. It should also be noted that the coefficient determinant on the left of (4-32) is:<F|Qks (Wmμks) >=Wksks=0  (4-33) .4.6.2.3. "PNSS perturbation highway" (PPH) for unidirectional continuous movement of single NESSpecial consideration needs to be given to the case where in (4-31) {kv} only has one state |kv>=|kω>, then (4-31) gives:which is a result of self-perturbation and seems formally the same as the first order approximation of NDP; but the latter is merely part of a result that also includes higher order approximations, which inevitably lead to hybridization, while (4-34) is the result of DP between |kω> and |kt> (there must be at least some Wkωkt≠0 in (4-18d) ) , which DP excludes NDP and, through the relationship of (4-32) , avoids hybridization of |kω>. And more importantly, the result of (4-34) is sustainable and repetitive as long as the sole NES |kω> maintains engaging in DP with PNSSs, so |kω> will continue to shift unidirectionally along the “PNSS perturbation highway” (PPH) with the stepuntil |kω> exits from one end of PPH.4.6.2.4. Start of unidirectional continuous movement of NESThe behavior of two (or more) NESs on PPH is also important. An initial NES |kω>may have Wkωkω=0, so it is still on PPH. But if two NESs |kv1> and |kv2> are present with Wkv1kv2≠0, they will form two new NESs |kω1> and |kω2> with Wkω1kω1≠0, and these two new NESs will start to continuously move on PPH (and in opposite directions) , activating continuous movement of NESs along the PPH.4.6.2.5. PNSS section outside PPH (Section II)When (4-20) no longer available, the result will be that of (4-27) , which can have This is the case of the PNSSs in the section outside the PPH. Either when PNSSs are established (4-20) is not satisfied in this region, or PNSSs in this region hybridize with the shifted NES. For illustration, we call the section where PPH is "Section I" , and call the PNSS area where PPH is not present "Section II" .Therefore, the overall trend is that all NESs on PPH will definitely be expelled into Section II and will no longer return to Section I. This is equivalent to achieving energy level repulsion across the entire length of the PPH.4.6.2.6. The scope of Section I and its transition to Section IIAs a possible picture, the upper energy limit of Section I should be above FS to include gap at FS. Secondly, the PNSSs in Section I transform into NESs in batches, and the number of states transformed in each batch is small enough to keep the number of NESs on PPH sparse, meaning that most DPs only include up to one NES, and only one DP include two NESs to initiate the movement of stationary NESs. After most of the PNSSs at the end of Section I are transformed into NESs (and moved outside of Section I along the PPH) , (4-20) may no longer be satisfied, and this part becomes a part of Section II. This process continues repeatedly, and part of the PNSSs inside Section I also gradually become NESs and moved along the PPH to the adjacent parts of Section II. The depletion of Section I forms the superconducting gap and the dip; the NESs shifted to the section II form the peak, the hump , and the possible peak of Bogoliubov Quasiparticles

[0010]

[0011] .5. Projection Operators and Orthogonal Relationships of Joint Wave Functions5.1. Projection operator of joint wave functionTo determinethe projection operator of joint wave function needs to be determined first. For:There isand aj is the solution of the equation set:The equation set (5-2) is formally the same as (4-5) , and its solution is:where Λ is the same as in (4-30) , Λj is obtained by replacing the j-th column of Λ by F is the determinant representation of the joint wave function of the M electronic states in the Z group, and Qj is obtained by replacing the |j>in the j-th column of F by (Whenandit becomes the form in (4-5) . ) We need to introduce the argument relationship intofor which we take:Inκjrepresents that the j-th column of Qj or F is replaced by <δ (i) |, where i represents row indexes as well as the arguments, then there is:According to (5-4) and (5-5) , there is:That is, κj inrepresents that the j-th column of Qj or F and is replaced with |δ (x-xi) >, (κj can be applied to the right in the form of <δ (x-xi) | or to the left in the form of |δ (x-xi) >. Substituting (5-5) and (5-3) into (5-1) we get:Thus the projection operator can be:Another more convenient form of the projection operator is:<λj|=<F|κj is obtained by replacing the j-th column of the numerator of<F|F>or<F|Qj>by <m|, and m is also the line index. Therefore, forfor example, there : areand<λj|m>＝δjm  (5-10)，andby expanding the determinant of |λm> according to the minorΛim of <F|F>, we obtain:5.2. Orthogonal relationship of joint wave functionsEquation (5-10) has the orthogonality. Therefore, Equation (5-10) is the orthogonal relationship in the presence of joint wave function, that is, the orthogonal relationship between the single particle wave function |m>and the joint wave function<λj|, and it is also the orthogonal relationship in the presence of non-Hermitian operator. When the anti-Hermitian component disappears, the orthogonality with respect to joint wave function transforms to the orthogonality of single particle wave functions.6. Interweaving of ζPerturbations and Time-dependent PerturbationsTime-dependent perturbation under non-orthogonal basis vectorsDue to the formation of non orthogonal basis vectors by ζperturbation, the existing time-dependent perturbation formulas such as (2-3) are no longer suitable, and new time-dependent perturbation formulas need to be derived. The representation of the wave function under the new basis vectors is:Substituting (6-1) into the basic equationtogether with H=H0+H' (t) and H0un=Enun, we obtain:Multiplying (6-2) byuk* and denoting <k|n>=<uk|un>and H'kn=H'kn (t) =<k|H' (t) |n>, we obtain:The result with the zero order coefficient is the same as that of the existing art:The relationship for the first order coefficients is:For consideration now is the case where the component of the initial state um is transferred to another state uk at time t. Therefore, and we obtain:Now considering the several situations of:1)and (both the initial and the final states are outside the group) , then <k|n>=0, and the results given by Equation (6-6) are the same as those in the art:2) m∈Z and (from an initial state within the group to a final state outside the group) , the result is the same as Equation (6-7) .3)and k∈Z (from an initial state outside the group to a final state within the group) , Equation (6-6) gives the equation set:The coefficient determinant of (6-8) is:det|<k|n>|=Λ  (6-9) .The permutation determinantis formed by replacing the nth column of by Λ with  (k=1, 2, …M) , that is:is formed by replacing the n-th column of F by |m>. The solution of (6-8) is:i.e.The permutation determinantis formed by replacing the n-th column of Λ by:As described in Sec. 4, the wave functions of ESs in ESN are indeterminate, that is, while the wave functions are linear combinations of base vectors, at least part of the coefficients of the linear combinations are indeterminate. Therefore, the establishment of (2-2) is fully ensured. (2-2) establishes PNSS, PNSS forms ESN, ESN makes PNSSs have indeterminateness; and the latter ensures (2-2) .7. Solid and / or superconducting phase transition model according to the present inventionIt is seen from the description so far that the present model has the features of:1) quasi chemical potential cause ζ perturbation, which is anti-Hermitian and level attraction;2) the ζ perturbation establishes electronic state network (ESN) ;3) (4-18c) and (4-18d) are the DP equation sets in the presence of ESN;4) the necessary condition to avoid hybridization of PNSS and NES is (4-20) ; and5) ESN nodes ks that allow (4-20) to hold form PPH on which an NES can continuously shift.Some additional features and effects will be described in Sec. 9.8. Anti-Hermitian operator as observableHermiticity of operator is a basic topic. In earlier discussions, it was not clearly stated whether "an observable must be Hermitian. "

[0012] Now we have established a clear counterexample and have determined that anti-Hermitian operator, or "operator that contains Hermitian and anti-Hermitian components " , not only produces measurable and real physical variable, but also forms corresponding and real physical phenomena.The eigenvalue of an anti-Hermitian operator is imaginary, but this does not necessarily violate the requirement that "any dynamical variable that we can measure must be a real dynamical variable"

[0012] . But real numbers do not completely exclude imaginary numbers, as zero is an intersection of the real and imaginary axes. An anti-Hermitian operator, as long as it has a zero mean value, is an operator that generates a real measurable quantity and an operator that generates observables. ζof Equation (3-7) is such an anti-Hermitian operator, so it is an operator of observable, and it therefore enters the real movement, changing the Hermiticity of the interaction it takes part in. Although the "mean value equal to zero" is only a unique numerical point, it is precisely through this unique point that the two physical domains of Hermiticity and anti-Hermiticity are correlated by movement, and relevant physical relationships, phenomena, and / or effects are generated, such as through the interweaving of Hermitian and non Hermitian interactions . The present model is based on anti-Hermitian operator.9. Establishment of zero coefficient determinant and related effects9.1. Zeroing the coefficient determinant by a special 'double pairing'(4-20) is a necessary condition for superconducting phase transition. If the diagonalized interaction matrix is regarded as an extreme case of ESN with edge degree ED=0, then the general form of ESN is the determinant or subdeterminant of pooled grouping. But so far, our attempt to establish (4-20) with respect to pooled grouping has not been successful. If ESN has two or more disconnected subnets, the simplest form of subnet is pairing, but pairing is also difficult to satisfy (4-20) . But there is a double pairing that can establish (4-20) .Considering two wave functions φi0 and φj0, each with two spin states of positive and negative directions, totaling four states that enter the ζ perturbation:The superscripts 1 and 2 represent the two spin directions, respectively. Let the ζ operator has the form:ζ(1+T)  (9-2) .T is the spin conversion operator (ζ for example may contain a factor eiqr to form coupling between wave functions φi0=φi0 (ki) ) . Lettingand etc., then:ζ13=ζ14=ζ23=ζ24=-ζ31=-ζ32=-ζ41=-ζ42  (9-3) ,and the equation set corresponding to (3-3) is:The duration equation is:or(Ei0-E) (Ej0-E) [ (Ei0-E) (Ej0-E) +|ζ23|2+|ζ24|2+|ζ13|2+|ζ14|2] =0  (9-5a) .The wave function for E=Ei0 is:The wave function for E=Ej0 is:The other two solutions are those of level attraction, namely:E3 / 4= (Ei0+Ej0)  / 2± [ (Ei0-Ej0) 2-16|ζ13|2] 1 / 2 / 2    (9-8) .Their wave functions are:andc3 and c4 are normalization coefficients. The orthogonal relationships are:<ψ1|ψ2>=<ψ1|ψ3>=<ψ1|ψ4>=<ψ2|ψ3>=<ψ2|ψ4>=0  (9-11) ,andSo the four state grouping consists of a diagonalized 2×2 sub-determinant and a non-diagonalized 2×2 sub-determinant. As long as:<ψ1|W|ψ1>=0 and / or <ψ2|W|ψ2>=0  (9-13) ,then (4-20) holds for |ks>=|ψ1> or |ks>=|ψ2>.9.2. The properties of solutions based on "double pairing"9.2.1. The relationship between two equation sets (4-29) and (4-18d)The 'double pairing' a dds more properties to the solution. When (4-20) is established, (4-18c) becomes (4-29) . The solution of (4-29) must satisfy (4-18d) simultaneously, and vice versa. Whether (4-29) and (4-18d) are combined into one equation set depends on whether there is hybridization between PNSS (i.e. ) and NES (i.e. ) in their respective solutions. The solutions of DP are zero order wave functions that exist in the basis vector subspace and have indeterminateness (seeming to have complete indeterminateness when (4-20) holds) . When there is no hybridization amongand components, the solutions of the two equation sets are independent and exist in their respective subspaces, with the basis vectors of the subspaces being {kt} and {kv} , respectively. Once hybridized, the subspace of the solutions expands and its basis vectors become {kt, kv} . As explained in section 4.6, the solutions in the subspace {kt} forms the PPH, and an NES as the solution in the subspace {kv} is merely a passenger on the PPH and is leaving the current DP; after the NES leaves the current DP, the constraint of (4-18d) also disappears from the current DP. If the hybridization occurs, the result of continuous NES movement of (4-34) cannot be obtained. Therefore, to establish PPH hybridization between PNSS and NES must be avoided.9.2.2. Nodes |ks> form PPHIn (4-18c) , by traversing ks through kt, the various solutions of the current DP can be obtained. But the solution of (4-18d) is for a certain node ks. If (4-18c) has M1 vectors kt and (4-18d) has M2 vectors of kω, then (4-18d) can have M1 groups of solutions. But in the absence of hybridization between the solutions of (4-18d) and (4-18c) , (4-18d) only has M2 linearly independent solution. Namely, the NES that can enjoy PPH can only appear at node (s) ks that satisfies (4-20) . And PPH is a channel formed of nodes ks located at various energy levelss.9.2.3. PPH includes the upper and lower sectionsPPH is formed of state ψ1 or ψ2 satisfying (9-13) as node ks, while ψ1 and ψ2 are located in the upper and lower regions, respectively. Although these two regions may not necessarily be separate, separating them seems to be more conducive to energy saving, as the isolation band between the two regions can prevent the upward movement of NES in the lower region (of course, it also prevents the downward movement of NES in the upper region) . On the one hand, section I formed by double pairing may have two segments. On the other hand, if an NES on PPH hybridizes with PNSS at a certain point then thatpoint transits from section I to section II. In the case of two sections of section I, a gap at FS is formed in the upper section of section I, and another gap corresponding to the dip is formed in the upper part of the lower section of section I.9.2.4. Nodes |ks>tend to concentrate to a pointFor (4-29) or (4-30) ,is a solution, and it also satisfies (4-18c) whenWkωks=0  (9-15) .A combination of two or more otherscan also satisfy (4-30) , but (9-14) plus (9-15) are obviously the simplest solution, each levelonly needs one node |ks>, and the position of |ks>of (9-14) needs not to be adjusted with |kω>. Therefore, nodes |ks>s tend to be confined to a certain location in the k space, with no NES |kω> (that is, no gap) being present at the location or its neighborhood. Therefore, the "nodal region" in the ARPES spectrum of cuprate superconductors should be the region that |ks> tends to be located. On the other hand, as long as there are |ks>s with separated positions on FS that satisfy (4-20) , gaps would occur at all positions on FS.9.2.5. NES is reduced from PNSSA single NES can continuously move on the PPH, and the initiation of NES movement on the PPH requires at least two NESs, so the number of NES (s) on the PPH should be kept small, and the number of W-coupled NESs should generally not exceed two or three. Therefore, the energy range of ESN should initially have almost no NES. Then individual PNSS are reduced back to NES, and at onethere are two NESs coupled by W, thus initiating the movement of NESs on PPH. An NES moves on PPH to section II, or that an NES stays by hybridizing with the PNSS at a location on PPH turns the section I at that location to section II. This process is repeated until renormalization is completed.9.2.6. Indeterminateness of wave function of hybridized NESs and PNSSsSo, there are three types of ESs within the ESN energy range: 1) PNSSs in "double pairing" , 2) PNSSs in "pooled grouping" , and 3) ESs formed by hybridization of NES and PNSS. Among them, the concentration of ESs in double pairing can be very low and could not actually be observed. The PNSSs in "pooling grouping" has indeterminateness, and the slope of their energy band is reduced due to level attraction. But the degree of slope reduction could be very small.The solution of hybrid NES and PNSS is a linear combination of {kt} and {kv} and also has indeterminateness. This linear combination generally spans a certain range of k values, so the indeterminateness also spans this range. If measuring EDC in a thin cut within this range, such EDC would be subjected to the indeterminateness.9.2.7. Critical temperature and Meissner effectThe occupation rate of ESs at FS is 50%. The different distributions of occupied ESs at the sameconstitute different microstates. If the number of ESs at or near FS is reduced, the number of microstates also decreases. The formation of a gap at FS will reduce the number of microstates (entropy) . Specifically, for decrease of one ES at FS, entropy decreases by kT ln 2. In contrast, the gap at the dip does not significantly reduce entropy. This is the benefit of forming an upper and a lower gaps. The gap reduces both internal energy and entropy, thus forming a critical temperature relationship. Of course, the mechanism of critical temperature might also include other factors.The mechanism of the Meissner effect includes: the presence of magnetic field causes the energy levels ofandto split, and (9-3) no longer holds, resulting in that (9-5) to (9-13) no longer hold, and therefore (4-20) also cannot hold.9.2.8. Additional features of the present modelTherefore, the present model also includes the following features:7) (4-20) can be established by double pairing, and the node (s) ks that satisfy (4-20) are in double pairing;8) (4-20) based on double pairings is incompatible with the presence of magnetic field;9) PPH includes upper and lower sections; the dip is located in the upper part of the lower section; and10) The ESs in section II have indeterminateness.Thus, we have described the microscopic model of the present invention of solid and / or superconducting phase transition.10. Hermiticity and anti-HermiticityThe anti-Hermitian component of the operator makes the single particle energy eigenstates lose their orthogonality. Orthogonality is an independence, so is energy eigenstates. The consequences of "energy eigenstates and orthogonality cannot be achieved simultaneously" caused by anti-Hermitian components make PNSS appear to be a stage of under-development of state. PNSS only obtains partial rather than complete independence, so the orthogonal energy eigenstates of Hermiticity appear to be a more developed state. But "aHermitian operator including an anti-Hermitian operator" does have higher significance: real numbers do not completely exclude imaginary number, imaginary number enters real numbers through zero, and anti-Hermiticity enters into Hermiticity. But the anti-Hermitian components of the operator, by zeroing the interactions within ESN, also partially restore diagonality of the interaction matrix, thereby partially restoring Hermiticity. The restored Hermiticity is no longer pure Hermiticity, but is a property compatible with ESN.References:[1] Borisenko, S. V., et al. "What the resonance peak does. " Arxiv Cornell University Library (2002) .[2]Kordyuk, A. A.; Borisenko, S. V.; Kim, T. K.; Nenkov, K. A.; Knupfer, M.; Fink, J.; Golden, M. S.;Berger, H.; Follath, R., Physical Review Letters, vol. 89, Issue 7, id. 077003. DOI: 10.1103 / PhysRevLett. 89.077003.[3] Huang Kun, "Solid State Physics" , pp. 201-205, the People's Education Press, published in June 1966. Huang Kun, Solid State Physics, Section 4-8, Higher Education Press, October 1988 ISBN 978-7-04-001025-1.[4] L. I. Schiff, Quantum mechanics, 3rd Ed., Sec. 44, McGram-Hill Book Company, 1968.[5] Norman, M. R. Cuprates-An Overview. J Supercond Nov Magn 25, 2131-2134 (2012) . https:  / / doi. org / 10.1007 / s10948-012-1637-7.[6] Wang Zhuxi, Introduction to Statistical Physics, People's Education Press, Unified Book No. 13012.0131, August 1965, 2nd Edition.[7] Zeng Jinyan, "Quantum Mechanics, " Third Edition, Science Press, 2000.[8] Physical Review Letters 121 (13) , September 2018, DOI: 10.1103 / PhysRevLett. 121.137203.[9] H. Xu, D. Mason, L. Jiang, and J. G. E. Harris, Nature 537, 80 (2016) .

[0010] Matsui, H. et al. BCS-like Bogoliubov Quasiparticles in High-Tc Superconductors Observed by Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy. Phys. Rev. Lett. 90, 217002 (2003) .

[0011] Lee, W., Vishik, I., Tanaka, K. et al. Abrupt onset of a second energy gap at the superconducting transition of underdoped Bi2212. Nature 450, 81-84 (2007) .

[0012] P. Dirac: The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press 1958.

Claims

1.A modeling method for solid phase transition, characterized by comprising:A) performingζ perturbation based on quasi chemical potential operatorζ, wherein ζ is anti-Hermitian and the ζ perturbation establishes an electronic state network ESN;B) establishing a degenerate perturbation equation set for ESN, whose solutions contain at least one of two components: pure non-stationary PNSS and normal electronic NES.2.The modeling method according to claim 1, further comprising:C) determining the condition for zeroing the coefficient determinant of the degenerate perturbation equation set;D) establishing PNSS perturbation highway PPH, on which an NES can continuously shift in one direction.3.The modeling method according to claim 2, wherein:the ESN node ks that zeros the coefficient determinant is in a double pairing of the ζ perturbation.4.The modeling method according to claim 3, wherein:ks tends to stay at a point and / or a neighborhood of the point in k space.5.The modeling method according to claim 2, wherein:PPH comprises an upper segment and a lower segment, with the upper segment being in a higher electronic state energy range and the lower segment being in a lower electronic state energy range.6.The modeling method according to claim 2, wherein:An NES that has shifted on PPH hybridizes with PNSS to stop shifting, and its hybridized wave function is indeterminate.7.The modeling method according to claim 2, wherein:the solution when the coefficient determinant of zero is a solution of superconducting phase.

Images